高中数学复数的三角表示考不

这是高中数学复数的三角表示考不，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

高中数学复数的三角表示考不第 1 篇

知识点：

一、三角运算：

复数除法

复数乘法

其实，这个结论也不难验证，用代数形式化简就可以的。

但是，这个结论的意义又是不一般的，它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。

而且，由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。

当然，复数的加减运算，按照三角形或平行四边形法则，可是不具备如此好的性质的。

但它和向量一样，也有下面这个不等关系：

视频教学：

练习：

一、选择题

1．复数z1＝1，z2由z1绕原点O逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z2z1)的值为(

　　)

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

2．复数－12＋3)2i的三角形式是(

　　)

A．cos 60°＋isin 60° B．－cos 60°＋isin 60°

C．cos 120°＋isin 60° D．cos 120°＋isin 120°

3．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(

　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．形状不能确定

4．复数cos π3＋isin π3经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于(

　　)

A．3 B．12

C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)

5．复数z＝cosπ15＋isinπ15是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为(

　　)

A.3)2＋12i B.12＋3)2i

C．－3)2－12i D．－12－3)2i

6．(探究题)若复数as4alco1((1＋i1－i))n为实数，则正整数n的最小值是(

　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空题

7．设z＝1＋i，则复数z2－3z＋6z＋1的三角形式是________．

8．复数2＋2i的辐角主值为________，化为三角形式为________．

9．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．

课件：

教案：

教学课时：共2课时（第1课时）

教学目标：

1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

教学过程：

一、情境与问题

问题1：

设复数在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量？

问题2：

记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出的任意一个值．

问题3：

小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

【学生活动】：

1、阅读教材43页尝试与发现．

2、回答文章中提出的问题．

3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

【设计意图】：

引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

二、新知探究

问题1：

是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、表示复数？

【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系．

【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系，将推广到z=a+bi．

问题2：

复数三角形式的定义是什么？

【学生活动】

尝试总结复数三角形式的定义．

【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ为复数z的辐角．

问题3：

辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2的整数倍．[0，2）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

【学生活动】思考并讨论．

【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

【学生活动】学生思考并总结．

【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

三、例题示范

例1（教材44页例1）

考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

解：（1）；

（2）；

（3）．

解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

例2：（教材48页习题10-3A第一题）

把下列复数化为代数形式．

考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

思路分析：打开括号，直接整理即可．

解：

解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

四、知能训练

1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

考查意图：复数的辐角

2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

五、归纳总结

1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

5、作业建议：

48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

49页习题10-3B第2题

高中数学复数的三角表示考不第 2 篇

知识点：

一、三角运算：

复数除法

复数乘法

其实，这个结论也不难验证，用代数形式化简就可以的。

但是，这个结论的意义又是不一般的，它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。

而且，由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。

当然，复数的加减运算，按照三角形或平行四边形法则，可是不具备如此好的性质的。

但它和向量一样，也有下面这个不等关系：

视频教学：

练习：

一、选择题

1．复数z1＝1，z2由z1绕原点O逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z2z1)的值为(

　　)

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

2．复数－12＋3)2i的三角形式是(

　　)

A．cos 60°＋isin 60° B．－cos 60°＋isin 60°

C．cos 120°＋isin 60° D．cos 120°＋isin 120°

3．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(

　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．形状不能确定

4．复数cos π3＋isin π3经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于(

　　)

A．3 B．12

C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)

5．复数z＝cosπ15＋isinπ15是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为(

　　)

A.3)2＋12i B.12＋3)2i

C．－3)2－12i D．－12－3)2i

6．(探究题)若复数as4alco1((1＋i1－i))n为实数，则正整数n的最小值是(

　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空题

7．设z＝1＋i，则复数z2－3z＋6z＋1的三角形式是________．

8．复数2＋2i的辐角主值为________，化为三角形式为________．

9．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．

课件：

教案：

教学课时：共2课时（第1课时）

教学目标：

1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

教学过程：

一、情境与问题

问题1：

设复数

在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量

？

问题2：

记r为向量

的模，

是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出

的任意一个值．

问题3：

小组讨论r、

与

的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

【学生活动】：

1、阅读教材43页尝试与发现．

2、回答文章中提出的问题．

3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

【设计意图】：

引导学生自主思考复数的r、

与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

二、新知探究

问题1：

是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、

与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、

表示复数？

【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、

与之间的关系．

【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、

与之间的关系，将

推广到z=a+bi．

问题2：

复数三角形式的定义是什么？

【学生活动】

尝试总结复数三角形式的定义．

【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中

，θ为复数z的辐角．

问题3：

辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

以Ox轴正半轴为始边，向量

所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2

的整数倍．[0，2

）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

【学生活动】思考并讨论．

【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

【学生活动】学生思考并总结．

【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

三、例题示范

例1（教材44页例1）

考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

解：（1）

；

（2）

；

（3）

．

解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

例2：（教材48页习题10-3A第一题）

把下列复数化为代数形式．

考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

思路分析：打开括号，直接整理即可．

解：

解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

四、知能训练

1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

考查意图：复数的辐角

2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

五、归纳总结

1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

5、作业建议：

48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

49页习题10-3B第2题

高中数学复数的三角表示考不第 3 篇

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称新课标）中增加了复数的三角形式，其教学内容要求：“通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。”沉寂已久的复数三角形式“重出江湖”，一方面说明了学习复数的重要性，每年高考，复数基本以选择题的形式出现，难度不大，学生也只注重复数的运算，不深入了解复数的几何意义与表示形式，而复数三角形式内容提醒我们要重视复数教学，特别是复数的几何意义;另一方面也告诉我们学习复数三角形式的必要性，虽然作为选学内容安排在教材中，但是存在即合理，教师有必要把复数三角形式相关知识传授给学生，拓宽学生的视野。可以的话，通过融入数学文化的校本课程教学复数三角形式，在不占用正常教学时间和教学资源来加强学生的学习能力和提升学生的学习素养，更能体现新课标、新高考模式下的教学力度。

一、了解复数的三角形式，更好地理解复数知识体系

复数常用的表示形式有代数形式、几何形式和三角形式，复数三角形式是在代数形式的基础上，从向量形式出发，结合三角函数知识推导出来的，是复数的重要形式之一，也是复数教学的难点之一。

在教学过程中，学生要知道复数三角形式的特征，学会复数代数形式与复数三角形式之间的互相转化。通过学习复数的三角形式，我们可以发现复数乘除运算的三角形式表达简洁，进而简化复数的乘除运算。教师和学生都可说初次接触，在教学中应避免过于繁复，要讲究技巧，渗透数学文化。根据新高考要求，可适当增加与知识点有关的数学史或者数学思想，以提升学生的数学文化素养。

二、融入数学文化，更好地凸显复数三角形式的重要性

数学文化是数学的重要组成部分，近年来在教学中起着不可忽视的重要作用。新课标定义数学文化：“数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成与发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”新课标的高中数学课程结构中，作为重要组成部分的数学文化，无不渗透在必修课程、选择性必修课程和选修课程。

教材由方程无实数解引入虚数单位i，给出复数概念和性质，那为什么要解这个方程？新的成果如何被人接受？复数的表示形式有何作用？学生对此一无所知。复数几种表示形式之间的互化：复数几何意义的运用、复数知识的整体数学思想方法……教材中都没有好好介绍，学生不知道复数知识在实际生活中的用处，难免觉得索然无味。把数学文化融入教学中，有助于学生深刻地认识、理解复数的表示与运算，提升他们的直观想象能力。讲解复数三角形式时，把数学史融入课堂教学中，使学生对无尽的数学奥妙产生更浓厚的兴趣，培养学生的探索能力。探索复数的背景，了解复数发展史上的重要人物和事件，在复数知识应用中渗透数形結合、类比思想……融入数学文化的复数三角形式更显其在复数知识体系的重要性。

复数的三角形式把向量和复数的模有机地结合起来，使得复数的知识更加充实和生动;复数的三角形式与代数形式的互化，使得复数知识体系更加完备和灵活。作为新课标下的新增内容，作为必修课程的选学知识，有其存在的合理性和必要性，根据学校学情分析，可将具有地方特色的校本课程来进行教学，更符合数学核心素养的发展需求。

三、实行校本课程，更好地开展复数三角形式教学

新课标明确提出有关校本课程的开展：“学校应根据自身情况，推动国家课程的全面落实，建设有特色的校本课程，适应学生多样化发展的需求，促进学生的全面发展。”我国实行国家课程、地方课程和校本课程三级课程管理政策，校本课程作为国家课程和地方课程的有机补充，是课程开发自主权逐渐下放的产物，旨在增强课程的选择性，为学生提供多样化的学习资源，促进学生的终身发展。基于复数三角形式是必修选学内容，又是复数教学难点，正常教学课堂则需安排较多课时，务必影响教学进程;学生对复数知识的发生、发展和本质知之甚少，对此笔者建议开展融入数学文化的复数三角形式的校本课程教学。

总之，融入数学文化的复数三角形式的校本课程，没有既定的教学模式，也没有现成的教学内容，但课程实施是一种有计划的活动，需要我们对将要实施的课程进行整体设计，需要研究、分析课程教学中所涉及的各方面因素。复数的三角形式架起了复数、平面向量和三角函数联系的桥梁，既可以简化复数的乘除运算，又可以解决很多平面向量、平面几何以及三角函数公式的推导问题。基于校本课程给复数章节设置了足够的课时，从应用的重要性和教学的可行性出发，建议按必修内容对待复数的三角形式。教学中应在加强复数与代数、向量、几何和三角的联系性上发力，使学生通过复数三角形式的学习，在直观想象、逻辑推理和数学运算素养方面得到真正的提高。

高中数学复数的三角表示考不第 4 篇

考试内容：复数的概念；复数的加法和减法；复数的乘法和除法；数系的扩充。

复数知识要点：复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8%-10%，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.

1.知识网络图

复数知识点网络图

　　2.复数中的难点

　　(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.

　　(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.

　　(3)复数的辐角主值的求法.

　　(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.

　　3.复数中的重点

　　(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.

　　(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.

　　(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.

　　(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是的必要不充分条件.（当，

时，上式成立）

5. ⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

⑵曲线方程的复数形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.

②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

注：.

6. 共轭复数的性质：

，（a + bi）

（）

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

7 ⑴①复数的乘方：

②对任何，及有

③

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.

②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

若是1的立方虚数根，即，则 .

8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：

①.

②若，是纯虚数.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：.

9. ⑴复数的三角形式：.

辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.

注：①为零时，可取内任意值.

②辐角是多值的，都相差2的整数倍.

③设则.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

，，.

⑶几类三角式的标准形式：

10. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：

①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.

②当不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

11. 复数的三角形式运算：

棣莫弗定理：