二次函数值域

这是二次函数值域，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

二次函数值域第 1 篇

　　〖大纲要求

　　1． 理解二次函数的概念；

　　2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

　　3． 会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

　　4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；

　　5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

　　内容

　　（1）二次函数及其图象

　　如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。

　　二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

　　（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向

　　抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是 ，对称轴是 ，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

　　抛物线y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是x=-h.

　　〖考查重点与常见题型

　　1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

　　已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图像经过原点，

　　则m的值是

　　2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

　　如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数

　　y＝kx2＋bx－1的图像大致是（ ）

　　y y y y

　　1 1

　　0 x o-1 x 0 x 0 -1 x

　　A B C D

　　3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

　　已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。

　　4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

　　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

　　5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

　　习题1:

　　一、填空题：（每小题3分，共30分）

　　1、已知A（3，6）在第一象限，则点B（3，－6）在第 象限

　　2、对于y＝－，当x＞0时，y随x的增大而

　　3、二次函数y＝x2＋x－5取最小值是，自变量x的值是

　　4、抛物线y＝（x－1）2－7的对称轴是直线x＝

　　5、直线y＝－5x－8在y轴上的截距是

　　6、函数y＝中，自变量x的.取值范围是

　　7、若函数y＝（m＋1）xm2＋3m＋1是反比例函数，则m的值为

　　8、在公式＝b中，如果b是已知数，则a＝

　　9、已知关于x的一次函数y＝（m－1）x＋7，如果y随x的增大而减小，则m的取值范围是

　　10、 某乡粮食总产值为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y（吨），与该乡人口数x的函数关系式是

　　二、选择题：（每题3分，共30分）

　　11、函数y＝中，自变量x的取值范围 （ ）

　　(A)x＞5 (B)x＜5 (C)x≤5 (D)x≥5

　　12、抛物线y＝（x＋3）2－2的顶点在 （ ）

　　(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

　　13、抛物线y＝（x－1）（x－2）与坐标轴交点的个数为 （ ）

　　(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

　　14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ）

　　(A) (B) (C) (D)

　　15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于y轴对称点的坐标为（ ）

　　（A）（－3,5） （B）（3,5） （C）（－3，－5） （D）（3，－5）

　　16．下列抛物线，对称轴是直线x＝的是（ ）

　　（A） y＝x2（B）y＝x2＋2x（C）y＝x2＋x＋2（D）y＝x2－x－2

　　17．函数y＝中，x的取值范围是（ ）

　　（A）x≠0 （B）x＞ （C）x≠ （D）x＜

　　18．已知A（0,0），B（3,2）两点，则经过A、B两点的直线是（ ）

　　（A）y＝x （B）y＝x （C）y＝3x （D）y＝x＋1

　　19．不论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4 的交点不可能在（ ）

　　（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

　　20．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（ ）

　　（A）2米 （B）3米 （C）4米 （D）5米

二次函数值域第 2 篇

　　一、教学内容分析

　　本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第二章第二节第二课（2.2.2）《二次函数的性质与图象》。关于《二次函数的性质与图象》在初中已经学习过，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。二次函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习其他初等函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以二次函数应重点研究。

　　二、学生学习况情分析

　　二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，只是像单调性、对称性、零点这种性质还没有规范，课本给出的三个例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

　　三、设计思想

　　1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

　　2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：

　　（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

　　（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

　　（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

　　四、教学目标

　　根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

　　1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

　　2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

　　3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

　　五、教学重点与难点

　　教学重点：使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

　　教学难点：借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。

　　六、教学过程：

　　（一）创设情景、提出问题

　　本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象，并指出如何得到函数的相关性质。学生在初中学习的基础上很容易就完成。就在学生回答后，教师提出一个让大家意想不到的问题：既然大家已经学习也掌握了二次函数的图象和性质，那我们今天还有必要再重复吗？编者的失误？还是另有用意呢？

　　【设计意图：一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师再次设问，把问题引向深入。】

　　【学情预设：学生可能很疑惑，或者有一些猜测】

　　你能独立完成问题2吗？。

　　问题2:试作出二次函数的图象。

　　要求学生按照自己处理二次函数的方法独立完成。

　　【设计意图：充分暴露学生的问题，突出本节课的重要性，激发学生学习的动力。】

　　【学情预设：一部分学生使用描点法作图；另一部分学生只确定对称轴和开口、只利用对称轴和y轴的交点等不是很规范的方法作图。】

　　在总结交流的基础上教师指出：有的同学用描点作图的方法作出函数的图象，从方法上没有问题，但是需要描出大量的点才能得到较为准确的图象；有的同学只是找到函数的对称轴判定开口方向就画出一个图象，或者是找到函数的对称轴和y轴的交点确定开口方向就画出函数的图象等等，这种不是很规范的作图方法，感觉很快，但是往往得到的图象不是很准确的，为什么呢？

　　（学生稍作思考）

　　师：实质上函数的性质是函数自身特殊对应关系的体现，而体现函数的对应关系的方法有解析式法、图象法和列表法。既然能够用解析式结合图象得到函数的性质，那么能否借助于解析式直接分析其性质，然后推断出图象的特征呢?在推断函数的图象时要考虑函数的哪些主要性质呢？我想这也是今天这节课的意图所在，如何利用函数性质的研究来推断出较为准确的函数图象，大家是否有兴趣和能力来探讨这个问题呢？

　　带着这样的问题我带领学生进入下一个环节——师生互动、探究新知。

　　（二）师生互动、探究新知

　　在这个环节上，我引用课本所给的例题1请同学们以学习小组为单位尝试完成。

　　例1、试述二次函数的性质，并作出它的图象。

　　要求：按照解析式----性质----推断函数图象的`过程来探讨，

　　【设计意图是：以便于学生在对比中进一步理解函数性质的应用，突破应用函数的性质来推断函数图象这一难点。同时体验分析障碍和获得成功的快乐，激发学生的学习兴趣。】

　　在学生学习小组的一番探讨后，教师选小组代表做总结发言，要求说出利用解析式得到性质的分析过程。

　　（其他小组作出补充，教师引导从以下几个方面完善）：

　　（1）定义域（2）开口方向（3）值域（顶点）及最值（4）对称轴（5）单调性（6）奇偶性（7）零点（8）图象

　　【设计意图是：让学生在师生互动，共同探讨的过程中逐步实现知识的迁移，基本上形成新的认知。】

　　【学情预设：因为是第一次尝试利用解析式分析性质并推断图象，学生对于某些性质不能准确的阐述出分析过程，对对称轴的确定、单调区间及单调性的分析等可能存在困难。】

　　这时教师可以利用对解析式的分析结合多媒体引导学生得到分析的思路和解决的方法，进而突破教学难点。

　　根据实际情况教师可以引导学生从二次函数的配方结果来分析：

　　（1）单调性的分析： 在=中当时，取得最小值-2，当时，自变量就越大，越小，就越大，就越大，即就越大，即就越大； 就越大；当时，自变量越大，这样单调性及单调区间（分界点）自然可以解决，结合单调性的定义可给出严格的证明；同时也可以帮助我们说明开口的方向是向上的。

　　（2）对称性的分析：

　　在=中当和时，如果=时，即，也就是，则时，一定有

　　也就是成立。因此可以令成立，这就是说二次函数的两个数于直线和对称。 的自变量时，函数值在轴上取两个关于-4对应的点为对称中心的两个点对应总是成立的，这就说明函数的图象关在对解析式分析的同时借助于几何画板课件演示，让学生直观感受：

　　然后在教师的引导之下推广并得出一般结论：如果函数成立，则函数的图象关于直线对定义域内的任意

　　对称。 都有在得出对称性的一般结论这一副产品后，为了强化对这个结论的认识和理解，教师可以安插一个练习题：

　　练习：试用以上结论来概括函数___________________________. 应该满足的结论是

　　在完成以上各环节后，教师再次提出任务：既然我们把二次函数的相关性质都分析完成，那么根据以上性质请同学们再次分析如何利用二次函数的性质推断出二次函数的图象? 用二次函数的性质推断函数的图象时需要研究分析二次函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

二次函数值域第 3 篇

认识二次函数

含有一个未知数，未知数的最高次数为二次的函数，则为二次函数。例如，f(x)等于x的平方+1为关于x的二次函数，f(x)等于x加1不是二次函数。

二次函数值域求解

设二次函数的格式为：f（x）=ax的平方+bx+c（a不为0）。下面的四个题型都用f（x）这个模型。

题型一：开口向上，定义域为R的二次函数求解函数的值域

a>0，二次函数图像开口向上。这类函数有最小值，最小值为二次函数的顶点对应的纵坐标f（-b/2a），直接代入求解即可。值域为f（x）大于等于f（-b/2a）。

例题1：求函数f（x）=x的平方+1的值域

根据上面的解题技巧知函数有最小值，最小值为f（0）=1，函数的值域为{f（x）|f（x）大于等于1}。

题型二：开口向上，定义域为固定区间的二次函数求解函数的值域

从上面的图像我们可以看出，在函数的对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。因此我们可以根据给定的定义域并且结合函数的单调性进行值域相关的求解。当给定的区间包括对称轴时，对称轴处是最小值，而距离对称轴较远地点为函数的最大值，当函数给定的区间不包括对称轴时，函数必定有单调性，利用单调性进行值域的求解即可。

例题2：求函数f（x）=x的平方+1的在[2,3]上的值域

根据上面的解题技巧知函数的对称轴为x=0，给定区间在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因此函数的值域为[f(2),f(3)]，即函数的值域为[5,10]。

题型三：开口向下，定义域为R的二次函数求解函数的值域

a<0，二次函数图像开口向下。这类函数有最大值，最大值为二次函数的顶点对应的纵坐标f（-b/2a），直接代入求解即可。值域为f（x）小于等于f（-b/2a）。

题型四：开口向下，定义域为固定区间的二次函数求解函数的值域

从上面的图像我们可以看出，在函数的对称轴右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大。因此我们可以根据给定的定义域并且结合函数的单调性进行值域相关的求解。当给定的区间包括对称轴时，对称轴处是最大值，而距离对称轴较远地点为函数的最小值，当函数给定的区间不包括对称轴时，函数必定有单调性，利用单调性进行值域的求解即可。

对于开口向下的二次函数的值域，学生们可以结合上面的例题自己进行相关的求解，将二次项系数变为负数进行相关的求解即可。希望大家通过实践练习能够真正理解这个考点哦。一定要去实践练习。

二次函数值域第 4 篇

本章教学目标

1.经历从实际问题引入二次函数的过程，理解二次函数的概念.

2.知道二次函数的图像是抛物线，会用描点法画出用解析法表示的二次函数的大致图像.

3.知道通过平移二次函数y=ax2 的图像得到二次函数y=ax2+c、y=a(x+m) 2 和y=a(x+m) 2 +k的图像的规律；会用配方法把二次函数的解析式y=ax 2+bx+c化为y=a(x+m) 2 +k的形式.

4.能根据二次函数的解析式指出这个函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最高点或最低点等特征，知道图像上升或下降的情况，认识函数的直观性质.

5.在已知二次函数的三组对应值（即抛物线上三点的坐标）的条件下，会用待定系数法确定二次函数的解析式；以用二次函数的知识解决简单的实际问题.

6.经历对二次函数图像的画法以及图像特征的研究过程，从中领略从特殊到一般、分解与组合的策略以及图形运动、数形结合的思想.

（下面的课时教学目标及重难点是根据一些优秀教案收集整理的，每个班级的学情不一样，各位老师在具体设计时应作调整。故仅供参考）

26.1二次函数的概念

教学目标

1．理解二次函数的概念；

2.能判断两个变量之间的关系是不是二次函数关系；

3.能根据实际情境列出二次函数解析式，并能确定自变量的取值范围；

4.经历从实际问题出发到列出二次函数解析式的过程，体会用函数思想去描述、研究变量之间的变化规律的意义．

教学重点 二次函数的概念；根据实际情境列出二次函数解析式，并确定定义域.

教学难点 通过实际问题引入二次函数，理解二次函数的概念.

26.2（1）特殊二次函数的图像（二次函数y=ax2的图像）

教学目标

1.了解二次函数的图像是抛物线，掌握用描点法画二次函数的图像；

2.掌握二次函数y=ax2 的图像及基本性质（顶点位置、开口方向、对称性）；

3.在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法；

4.通过独立思考，体会归纳、概括、提炼数学知识的方法.

教学重点 借助y=ax2 的图像归纳y=ax2 的基本性质并加以直观描述．

教学难点 借助y=ax2 的图像归纳y=ax2 的基本性质并加以直观描述．

26.2（2）特殊二次函数的图像（二次函数y=ax2+c的图像）

教学目标

1．掌握二次函数y=ax2+c的图像及基本性质（开口方向，对称轴，顶点坐标，画图像）；

2. 理解二次函数y=ax2+c与y=ax2 的图像平移关系，能根据c的值确定图像平移方向和距离；

3. 在运用图形运动、变换的思想研究二次函数y=ax2+c性质的过程中，体会“变”与“不变”，领会和运用数形结合的思想方法．

4. 培养通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法.

教学重点 二次函数y=ax2+c的图像及基本性质.

教学难点 二次函数y=ax2+c与y=ax2 的图像及性质的联系与区别.

26.2（3）特殊二次函数的图像（二次函数y=a（x+m）2的图像）

教学目标

1．掌握二次函数y=a(x+m) 2 的图像及基本性质；

2．掌握二次函数y=a(x+m) 2 与y=ax2 的图像的平移关系，能由m的值确定图像平移的方向和距离；

3．在运用图形运动、变换的思想研究二次函数y=a(x+m) 2 的过程中，培养通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法.

教学重点 二次函数y=a(x+m) 2 的图像及性质.

教学难点 在运用图形运动、变换的思想研究二次函数y=a(x+m) 2 的过程中，探索二次函数y=a(x+m) 2 的性质.

26.3（1）二次函数y=ax2+bx+c的图像（二次函数y=a(x+m)2 +k的图像）

教学目标

1.掌握二次函数y=a(x+m) 2 +k 的图像的开口方向, 对称轴, 顶点坐标及有关性质;

2.理解二次函数y=a(x+m) 2 +k与y=ax2 的图像之间的平移关系, 能由m, k.的值说明平移的方向和平移的距离;

3.在运用图形运动, 变换思想研究二次函数y=a(x+m) 2 +k 性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法．

教学重点 y=a(x+m) 2 +k 的图像的开口方向, 对称轴, 顶点坐标及有关性质.

教学难点 归纳二次函数y=a(x+m) 2+k 的图像与y=ax2 的图像的关系.

26.3（2）二次函数y=ax2+bx+c的图像（二次函数y=a(x+m)2+k的图像）

教学目标

1.掌握画二次函数y=a(x+m) 2+k 图像方法（先根据常数a、m、k确定抛物线的位置特征，再取对称点画图）；

2.掌握函数图像平行移动规律，会根据抛物线顶点的运动路径，写出新的抛物线的解析式；

3.能根据图像特征，确定m,k的值，写出二次函数的解析式.

教学重点 先确定抛物线的位置特征，再取对称点画二次函数y=a(x+m) 2+k图象

教学难点 掌握y=a(x+m) 2+k图像特征.

26.3（3）二次函数y=ax2+bx+c的图像

教学目标

1．掌握用配方法将形如y=ax 2+bx+c的二次函数变形为y=a(x+m) 2+k的形式的方法和步骤;

2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质;

3.掌握画二次函数y=ax2 +bx+c图像的步骤；

4.经历二次函数y=ax2 +bx+c的图像及性质的探索过程，领会由特殊到一般的思维方法.

教学重点 用配方法把y=ax2+bx+c 化为y=a(x+m) 2+k的形式，二次函数的图像和性质.

教学难点 用配方法把 y=ax2 +bx+c化为y=a(x+m)2 +k的形式.

26.3（4）二次函数y=ax2+bx+c的图像

教学目标

1.掌握用二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c表示图像的顶点坐标，对称轴;

2.会根据图像直观地分析在抛物线对称轴两侧，曲线上升和下降的趋势.

教学重点 用二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c表示图像的顶点坐标，对称轴；图像在对称轴两边的变化情况.

教学难点 用配方法推导用a,b,c表示顶点坐标，对称轴的公式.

26.3（5）二次函数y=a（x+m）2+k的图像

教学目标

1．掌握二次函数的一般式和配方式；

2. 熟练巩固求二次函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，变化情况的方法；

3.会选取特殊点正确画出二次函数的图像；

4.掌握用待定系数法求二次函数的解析式.

教学重点 熟练求二次函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，变化情况，用待定系数法求二次函数解析式.

教学难点 待定系数法求二次函数解析式.

26.3（6）二次函数y=ax2+bx+c的图像

教学目标

1. 会寻找实际问题中的变量关系, 确立二次函数解析式和函数的定义域, 掌握运用二次函数解决实际问题的一般方法;

2.运用配方法,结合二次函数的顶点坐标所对应的函数值最大或最小的特点解决实际问题中的最大高度的问题;

3.体会数学知识与实际生活的密切联系，培养在生活中善于思考和运用数学知识的能力．

教学重点 运用二次函数的图像特征解决简单的实际问题.

教学难点 分析实际问题中的变量关系, 确立函数的定义域.