认识单复数教案

这是认识单复数教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

认识单复数教案第 1 篇

　　引入：

　　大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？

　　问题1：已知 ，求：（1） ；（2） 。

　　对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通过 可是

　　方案四：

　　你是怎么处理的，结论是什么？

　　第二个问为什么没解出来？为什么存在着使 的数，但是却求不出来，你是怎么想的呢？

　　正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。

　　应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。

　　请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。

　　问题2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充，

　　（1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。

　　（2）说明数集N,Z,Q,R的关系

　　（2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。

　　同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。

　　数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义，接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。

　　问题3： 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中，

　　(1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。

　　(2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。

　　通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用，同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。

　　问题4：现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？ 怎么解决？你能具体说一说吗？

　　同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程 在实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。

　　如果引入虚数，负数可以开方了，那么 就有意义了。我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把 表示成 的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与 的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把 看作虚数单位。

　　负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？

　　现在我们规定：（1） ；（2） 。

　　使用 来表示 这个数，是伟大的数学家欧拉在1777年，双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚数有了一个特征性的记号。从此，也就不在使用 表示虚数单位了，而是 了。那么 ，这种表示方法既简洁又有特点。

　　问题5：不仅仅 是虚数吧，你还能说出其他形式的虚数吗？那么通过运算，虚数可以用 表示成什么形式呢？（讨论）

　　一．复数的定义

　　虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作 。这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。

　　该怎样用描述法表示集合 呢？

　　形如 的数，我们把它们叫做复数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　一个复数是由两部分组成的，如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然，即

　　问题6：实数与虚数组成了复数，那么 这种形式，什么时候表示实数，什么时候表示虚数呢？

　　二．例题

　　例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。

　　例题2．当 取何实数时，复数 是：

　　（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零

　　结论：

　　三．虚数引入的必要性

　　通过前面的研究，大家对虚数已经有了初步的认识，然而历史上引入虚数，可不是件容易的事，是许多数学家200多年的努力，才奠定了虚数在数学领域的地位。开始很多人都不承认虚数，就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义，他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题，显得像是可以解的样子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事实并非如此，我们最开始研究的问题1，就是16世纪，意大利数学家卡尔达诺研究的一个著名问题：“将10分成两部分，使他们的乘积等于40” 的变形。这个问题就说明了虚数的存在性。

　　数十年后另一个意大利数学家邦贝力（R. Bombelli，1526-1573）发现，方程 有三个实数根4， 。邦贝力在利用三次方程求根公式求解时，却发现实数4竟然是用 来表示的。

　　这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的，而是客观存在的。

　　四．复数的实际应用

　　在十六世纪，很多数学家不认可虚数，只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻，负数和无理数才刚刚接受，让他们接受负数可以开方就更难了。而且那时也无法在现实世界中找到任何可以支持虚数的事物。

　　不过经过许多数学家的深入研究与探索，现在复数理论越来越完善，它的重要性也越来越明显。在处理很多数学问题，如代数、分析、几何与数论等问题中，皆可看到复数的踪迹。

　　一些碎形就是基于复数理论基础上的。

　　这个图就是碎形——曼德勃罗集合，这是他的局部放大图。

　　复数更多的应用是作为一种数学工具，服务于各个领域。比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为建立巨大水电站（如三峡水电站）提供了重要的理论依据。

　　复数还广泛的应用于物理学的各个分支， 比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。

　　五．师生小结

　　那么，通过这堂课的学习你有哪些收获？

　　今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门，对复数的认识还是肤浅的，在今后的学习中，大家再慢慢体会复数的作用。

　　板书：

　　§3.1.1数系的扩充与复数的概念

　　一． 虚数

　　1． 虚数单位

　　2． 虚数的表示形式

　　二． 复数

　　1． 概念：形如 的数， 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　2． 性质：

认识单复数教案第 2 篇

　　教学目的：

　　1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i

　　2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律

　　3.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)

　　4.理解并掌握复数相等的有关概念

　　教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用

　　教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立

　　授课类型：新授课

　　课时安排：1课时

　　教 具：多媒体、实物投影仪

　　内容分析：

复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类

　　教学过程：

　　一、复习引入：

　　数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N

　　随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展

　　为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集

　　有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集

　　因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数

认识单复数教案第 3 篇

　　引入：

复数的教学设计

　　大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？

　　问题1：已知 ，求：（1） ；（2） 。

　　对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通过 可是

　　方案四：

　　你是怎么处理的，结论是什么？

　　第二个问为什么没解出来？为什么存在着使 的数，但是却求不出来，你是怎么想的呢？

　　正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。

　　应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。

　　请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。

　　问题2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充，

　　（1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。

　　（2）说明数集N,Z,Q,R的关系

　　（2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。

　　同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。

　　数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义，接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。

　　问题3： 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中，

　　(1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。

　　(2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。

　　通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用，同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。

　　问题4：现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？ 怎么解决？你能具体说一说吗？

　　同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程 在实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。

　　如果引入虚数，负数可以开方了，那么 就有意义了。我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把 表示成 的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与 的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把 看作虚数单位。

　　负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？

　　现在我们规定：（1） ；（2） 。

　　使用 来表示 这个数，是伟大的数学家欧拉在1777年，双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚数有了一个特征性的记号。从此，也就不在使用 表示虚数单位了，而是 了。那么 ，这种表示方法既简洁又有特点。

　　问题5：不仅仅 是虚数吧，你还能说出其他形式的虚数吗？那么通过运算，虚数可以用 表示成什么形式呢？（讨论）

　　一．复数的定义

　　虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作 。这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。

　　该怎样用描述法表示集合 呢？

　　形如 的数，我们把它们叫做复数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　一个复数是由两部分组成的，如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然，即

　　问题6：实数与虚数组成了复数，那么 这种形式，什么时候表示实数，什么时候表示虚数呢？

　　二．例题

　　例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。

　　例题2．当 取何实数时，复数 是：

　　（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零

　　结论：

　　三．虚数引入的必要性

　　通过前面的研究，大家对虚数已经有了初步的认识，然而历史上引入虚数，可不是件容易的事，是许多数学家200多年的努力，才奠定了虚数在数学领域的地位。开始很多人都不承认虚数，就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义，他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题，显得像是可以解的样子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事实并非如此，我们最开始研究的问题1，就是16世纪，意大利数学家卡尔达诺研究的一个著名问题：“将10分成两部分，使他们的乘积等于40” 的变形。这个问题就说明了虚数的'存在性。

　　数十年后另一个意大利数学家邦贝力（R. Bombelli，1526-1573）发现，方程 有三个实数根4， 。邦贝力在利用三次方程求根公式求解时，却发现实数4竟然是用 来表示的。

　　这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的，而是客观存在的。

　　四．复数的实际应用

　　在十六世纪，很多数学家不认可虚数，只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻，负数和无理数才刚刚接受，让他们接受负数可以开方就更难了。而且那时也无法在现实世界中找到任何可以支持虚数的事物。

　　不过经过许多数学家的深入研究与探索，现在复数理论越来越完善，它的重要性也越来越明显。在处理很多数学问题，如代数、分析、几何与数论等问题中，皆可看到复数的踪迹。

　　一些碎形就是基于复数理论基础上的。

　　这个图就是碎形——曼德勃罗集合，这是他的局部放大图。

　　复数更多的应用是作为一种数学工具，服务于各个领域。比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为建立巨大水电站（如三峡水电站）提供了重要的理论依据。

　　复数还广泛的应用于物理学的各个分支， 比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。

　　五．师生小结

　　那么，通过这堂课的学习你有哪些收获？

　　今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门，对复数的认识还是肤浅的，在今后的学习中，大家再慢慢体会复数的作用。

　　板书：

　　§3.1.1数系的扩充与复数的概念

　　一． 虚数

　　1． 虚数单位

　　2． 虚数的表示形式

　　二． 复数

　　1． 概念：形如 的数， 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　2． 性质：

认识单复数教案第 4 篇

　　教学目标

　　（1）掌握，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

　　（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

　　（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

　　（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

　　教学建议

　　（一）教材分析

　　1、知识结构

　　本节首先介绍了，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

　　2、重点、难点分析

　　（1）正确复数的实部与虚部

　　对于复数 ，实部是 ，虚部是 ．注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。

　　说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

　　（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

　　分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

　　注意分清复数分类中的界限：

　　①设 ，则 为实数

　　② 为虚数

　　③ 且 。

　　④ 为纯虚数 且

　　（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

　　①化为复数的标准形式

　　②实部、虚部中的字母为实数，即

　　（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

　　①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的．

　　②复数 用复平面内的点z( )表示．复平面内的点z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1· ，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度．

　　③当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当 时， 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

　　由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

　　④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点z(a，b)中的z，书写时大写．要学生注意．

　　（5）关于共轭复数的概念

　　设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）．

　　教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时， 与 互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．

　　（6）复数能否比较大小

　　教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

　　①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 ．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

　　②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

　　(i)对于任意两个实数a， b来说，a＜b， a=b， b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

　　(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

　　(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

　　(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

　　（二）教法建议

　　1．要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与平面解析几何的联系．

　　2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

　　3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有