全称量词与存在量词教案导入

这是全称量词与存在量词教案导入，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

全称量词与存在量词教案导入第 1 篇

　　在教学中，作为教师，应该全面理解和把握教材的编写意图，本节内容安排在学生学习了命题及命题的否定之后，旨在通过丰富的实例，使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词即全称量词与存在量词的含义，会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的`特称命题的真假，会正确地写出这两类命题的否定，认识到含有一个量词的全称命题的否定是特称命题，含有一个量词的特称命题的否定是全称命题的规律。

　　所以，上课的时候我首先通过多媒体展示教学重点和难点，本节教材的重点是通过生活和数学中的丰富实例，理解和掌握全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定；难点是全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定。其次，创设情境，引入这两个基本概念。引导学生回顾命题的概念，然后思考和讨论教材中第21页（普通高中课程标准实验教科书数学选修教材1-1）的思考题，学生根据命题的概念判断出思考题中（1）（2）不是命题，而（3）（4）是命题，通过对比，激发学生对这类题型的兴趣，由此引出全称量词的概念、符号以及全称命题的概念。全称量词有许多种表述形式，除了思考题中出现的两种外，教科书的旁白中也列举了其他几种的表述方式，我在教学中还引导学生寻找其他的数学例子，以加深学生对全称量词的认识和理解。比如，每一个三角形都存在外接圆；所有的实数都有算数平方根；对一切无理数x，3x+2还是无理数等等。

　　符号语言是数学的基本语言，在教学中，我充分利用这一点，使用符号语言简洁、准确地表达数学的一些内容。比如教材中将含有变量x的陈述句用符号p（x），q（x），r（x）等表示，所以我们也就可以用符号表示全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立（略）。

　　在教学过程中，我们要鼓励学生适当使用符号语言来表达数学的一些内容，这样就比语言叙述简洁多了。

　　在教学中，作为教师应该多思考，找到一些让学生容易接受、便于接受、乐于接受的教学方法，做到自己头脑的随时更新，以便适应新教材、新课标、新学生，提高自己的教学水平，成为一名合格乃至优秀的教师。

全称量词与存在量词教案导入第 2 篇

　　导学目标：

　　1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.

　　2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

　　自主梳理

　　1.逻辑联结词

　　命题中的或，且，非叫做逻辑联结词.“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.

　　2.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

　　p q p∧q p∨q 綈p

　　真 真 真 真 假

　　真 假 假 真 假

　　假 真 假 真 真

　　假 假 假 假 真

　　3.全称量词与存在量词

　　(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x).

　　(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x).

　　自我检测

　　1.命题“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是(

　　)

　　A.∃x∈R，x2-2x+1≥0 B.∃x∈R，x2-2x+1>0

　　C.∀x∈R，x2-2x+1≥0 D.∀x∈R，x2-2x+1<0

　　答案　C

　　解析　因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题.对x2-2x+1<0的否定为x2-2x+1≥0，故选C.

　　2.若命题p：x∈A∩B，则綈p是(

　　)

　　A.x∈A且x B B.x A或x B

　　C.x A且x B D.x∈A∪B

　　答案　B

　　解析　∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，

　　∴綈p：x A或x B.

　　3.(2011•大连调研)若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有(

　　)

　　A.p真q真 B.p假q假

　　C.p真q假 D.p假q真

　　答案　B

　　解析　∵“p∨q”的否定是真命题，

　　∴“p∨q”是假命题，∴p，q都假.

　　4.(2010•湖南)下列命题中的假命题是(

　　)

　　A.∀x∈R,2x-1>0

　　B.∀x∈N*，(x-1)2>0

　　C.∃x∈R，lg x<1

　　D.∃x∈R，tan x=2

　　答案　B

　　解析　对于B选项x=1时，(x-1)2=0.

　　5.(2009•辽宁)下列4个命题：

　　p1：∃x∈(0，+∞)，(12)x<(13)x;

　　p2：∃x∈(0,1)，log12x>log13x;

　　p3：∀x∈(0，+∞)，(12)x>log12x;

　　p4：∀x∈(0，13)，(12)x

　　其中的真命题是(

　　)

　　A.p1，p3 B.p1，p4

　　C.p2，p3 D.p2，p4

　　答案　D

　　解析　取x=12，则log12x=1，log13x=log32<1，

　　p2正确.

　　当x∈(0，13)时，(12)x<1，而log13x>1，p4正确.

　　探究点一　判断含有逻辑联结词的命题的真假

　　例1 　写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假.

　　(1)p：1是素数;q：1是方程x2+2x-3=0的根;

　　(2)p：平行四边形的对角线相等;q：平行四边形的对角线互相垂直;

　　(3)p：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同;q：方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.

　　解题导引　正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为：①确定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根据其真值表判断复合命题的真假.

　　解　(1)p∨q：1是素数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题.

　　p∧q：1既是素数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题.

　　綈p：1不是素数.真命题.

　　(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.

　　p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题.

　　綈p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.

　　(3)p∨q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题.

　　p∧q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题.

　　綈p：方程x2+x-1=0的两实根的符号不相同.真命题.

　　变式迁移1　(2011•厦门月考)已知命题p：∃x∈R，使tan x=1，命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1

　　①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是(

　　)

　　A.②③ B.①②④

　　C.①③④ D.①②③④

　　答案　D

　　解析　命题p：∃x∈R，使tan x=1是真命题，命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1

　　∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;

　　③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题.

　　探究点二　全(特)称命题及真假判断

　　例2 　判断下列命题的真假.

　　(1)∀x∈R，都有x2-x+1>12.

　　(2)∃α，β使cos(α-β)=cos α-cos β.

　　(3)∀x，y∈N，都有x-y∈N.

　　(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0+y0=3.

　　解题导引　判定一个全(特)称命题的真假的方法：

　　(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可.

　　(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.

　　解　(1)真命题，

　　因为x2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.

　　(2)真命题，如α=π4，β=π2，符合题意.

　　(3)假命题，例如x=1，y=5，但x-y=-4 N.

　　(4)真命题，例如x0=0，y0=3符合题意.

　　变式迁移2　(2011•日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是(

　　)

　　A.∀x∈R，x2+3<0

　　B.∀x∈N，x2≥1

　　C.∃x∈Z，使x5<1

　　D.∃x∈Q，x2=3

　　答案　C

　　解析　由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2+3≥3，所以命题“∀x∈R，x2+3<0”为假命题;

　　由于0∈N，当x=0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”为假命题;

　　由于-1∈Z，当x=-1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z，使x5<1”为真命题;

　　由于使x2=3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2=3”为假命题.

　　探究点三　全称命题与特称命题的否定

　　例3 　写出下列命题的“否定”，并判断其真假.

　　(1)p：∀x∈R，x2-x+14≥0;

　　(2)q：所有的正方形都是矩形;

　　(3)r：∃x∈R，x2+2x+2≤0;

　　(4)s：至少有一个实数x，使x3+1=0.

　　解题导引　(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定;而一般命题的否定则是直接否定结论即可.

　　(2)要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假.因为p与綈p的真假相反且一定有一个为真，一个为假.

　　解　(1)綈p：∃x∈R，x2-x+14<0，这是假命题，

　　因为∀x∈R，x2-x+14=(x-12)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假.

　　(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.

　　(3)綈r：∀x∈R，x2+2x+2>0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.

　　(4)綈s：∀x∈R，x3+1≠0，是假命题，这是由于x=-1时，x3+1=0.

　　变式迁移3　(2009•天津)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(

　　)

　　A.不存在x0∈R,2x0>0

　　B.存在x0∈R,2x0≥0

　　C.对任意的x∈R,2x≤0

　　D.对任意的x∈R,2x>0

　　答案　D

　　解析　本题考查全称命题与特称命题的否定.原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而“≤”的否定是“>”，所以其否定为“对任意的x∈R,2x>0”.

　　转化与化归思想的应用

　　例 　(12分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20+2ax0+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.

　　【答题模板】

　　解　由“p且q”是真命题，

　　则p为真命题，q也为真命题. [3分]

　　若p为真命题，a≤x2恒成立，

　　∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]

　　若q为真命题，

　　即x2+2ax+2-a=0有实根，

　　Δ=4a2-4(2-a)≥0，

　　即a≥1或a≤-2， [10分]

　　综上，所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1. [12分]

　　【突破思维障碍】

　　含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集.

　　【易错点剖析】

　　“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q就是方程x2+2ax+2-a=0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x0使方程成立.

　　1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解.

　　(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.

　　(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定;否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定.

　　2.判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断.

　　3.全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是一个特称命题“∃x∈M，綈p(x)”，

　　特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“∀x∈M，綈p(x)”.

　　(满分：75分)

　　一、选择题(每小题5分，共25分)

　　1.(2011•宣城模拟)已知命题p：∃x∈R，x2-3x+3≤0，则(

　　)

　　A.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为真命题

　　B.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为假命题

　　C.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为真命题

　　D.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为假命题

　　答案　C

　　解析　命题p是一个特称命题，它的否定綈p：对所有的x∈R，都有x2-3x+3>0为真.故答案为C.命题的否定要否定量词，即全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，而且要否定结论.

　　2.已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是(

　　)

　　A.a<13 B.a≤13

　　C.0

　　答案　B

　　解析　∵命题綈p是真命题，∴命题p是假命题，而当命题p是真命题时，不等式ax2+2x+3>0对一切x∈R恒成立，这时应有a>0，Δ=4-12a<0，解得a>13.因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，

　　实数a的范围是a≤13.

　　3.(2011•龙岩月考)已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是(

　　)

　　A.a≥1 B.a≤1

　　C.a≥-3 D.a≤-3

　　答案　A

　　解析　 綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，而p q，条件p化简为x>1或x<-3，所以当a≥1时，q⇒p.

　　4.已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是(

　　)

　　A.∀a，b∈R，如果ab<0，则a<0

　　B.∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0

　　C.∃a，b∈R，如果ab<0，则a<0

　　D.∃a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0

　　答案　B

　　解析　∀a，b∈R是大前堤，在否命题中也不变，又因ab>0，a>0的否定分别为ab≤0，a≤0，故选B.

　　5.(2011•宁波调研)下列有关命题的说法正确的是(

　　)

　　A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”

　　B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件

　　C.命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1<0”

　　D.命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题

　　答案　D

　　二、填空题(每小题4分，共12分)

　　6.(2010•安徽)命题“对∀x∈R，|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________.

　　答案　∃x∈R，|x-2|+|x-4|≤3

　　7.已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x-2x+1+m=0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________.

　　答案　m≤1

　　解析　命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x-2x+1+m=0有

　　实数解，即m=-(4x-2x+1)，令f(x)=-(4x-2x+1)，由于f(x)=-(2x-1)2+1，所以当x-Ray

　　时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.

　　8.(2010•安徽)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是

　　______________________.

　　答案　对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0

　　解析　因特称命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0.

　　三、解答题(共38分)

　　9.(12分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假.

　　(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3};

　　(2)p：1是奇数，q：1是质数;

　　(3)p：0∈∅，q：{x|x2-3x-5<0}⊆R;

　　(4)p：5≤5，q：27不是质数.

　　解　(1)∵p是假命题，q是真命题，

　　∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，

　　綈p为真命题.(3分)

　　(2)∵1是奇数，

　　∴p是真命题.

　　又∵1不是质数，

　　∴q是假命题.

　　因此p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题.(6分)

　　(3)∵0 ∅，∴p为假命题.

　　又∵x2-3x-5<0⇒3-292

　　∴{x|x2-3x-5<0}={x|3-292

　　∴q为真命题.

　　∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为真命题.(9分)

　　(4)显然p：5≤5为真命题，q：27不是质数为真命题，

　　∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，綈p为假命题.

　　(12分)

　　10.(12分)(2011•锦州月考)命题p：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)=(3-2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.

　　解　设g(x)=x2+2ax+4，

　　由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，

　　故Δ=4a2-16<0，∴-2

　　又∵函数f(x)=(3-2a)x是增函数，

　　∴3-2a>1，∴a<1.(6分)

　　又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假.

　　(1)若p真q假，则-2

　　∴1≤a<2;(8分)

　　(2)若p假q真，

　　则a≤-2，或a≥2，a<1，∴a≤-2.(10分)

　　综上可知，所求实数a的取值范围为

　　1≤a<2，或a≤-2.(12分)

　　11.(14分)已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.

　　解　p：x2+mx+1=0有两个不等的负根⇔Δ1=m2-4>0-m<0⇔m>2.(3分)

　　q：4x2+4(m-2)x+1=0无实根.

　　⇔Δ2=16(m-2)2-16<0⇔1

　　因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反.

　　①当p真且q假时，有m>2m≤1或m≥3

　　⇒m≥3;(10分)

　　②当p假且q真时，有m≤21

　　综上可知，m的取值范围为{m|1

全称量词与存在量词教案导入第 3 篇

　　《全称量词与存在量词》练习题及答案

　　一、选择题(每小题3分,共18分)

　　1.(2014•烟台高二检测)对下列命题的否定说法错误的是(

　　)

　　A.p:能被2整除的数是偶数; p:存在一个能被2整除的数不是偶数

　　B.p:有些矩形是正方形; p:所有的矩形都不是正方形

　　C.p:有的三角形为正三角形; p:所有的三角形不都是正三角形

　　D.p:∃x0∈R, +x0+2≤0; p:∀x∈R,x2+x+2>0

　　【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形,故选项C错误.

　　2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述正确的是(

　　)

　　A. p:∃x0∈R, +1≠0

　　B. p:∀x∈R,x2+1=0

　　C.p是真命题, p是假命题

　　D.p是假命题, p是真命题

　　【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x 0∈R, +1=0”.所以p是真命题, p是假命题.

　　3.(2014•广州高二检测)命题“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是(

　　)

　　A.∃x0>0,使得 -x0≤0

　　B.∃x0>0,使得 -x0>0

　　C.∀x>0,都有x2-x>0

　　D.∀x≤0,都有x2-x>0

　　【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.

　　【变式训练】已知命题p:∃x0∈R, +1<0,则 p是(

　　)

　　A.∃x0∈R, +1≥0 B.∀x∈R,x2+1≥0

　　C.∃x0∈R, +1≠0 D.∀x∈R,x2+1<0

　　【解析】选B.命题p是一个特称命题,其否定为全称命题, p:∀x∈R,x2+1≥0.

　　4.已知命题p:“对∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x•m+1=0”.若命题 p是假命题,则实数m的取值范围是(

　　)

　　A.-2≤m≤2 B.m≥2

　　C.m≤-2 D.m≤-2或m≥2

　　【解题指南】根据p与 p的真假性相反知p是真命题,然后求m的取值范围即可.

　　【解析】选C.因为 p是假命题,所以p是真命题.X kB1.cOM

　　所以m=- ≤-2.

　　5.已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+ <0;命题q:∃x0∈R,sinx0-cosx0= ,则下列判断正确的是(

　　)

　　A.p是真命题 B.q是假命题

　　C. p是假命题 D. q是假命题

　　【解析】选D.因为2x2+2x+ = (2x+1)2≥0,所以p是假命题.又因为sinx-cosx= sin ,所以 ∃x0= ,使sinx0-cosx0= ,故q是真命题,故选D.

　　6.(2013•衡水高二检测)已知p:存在x0∈R,m +1≤0;q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假,则实数m的取值范围为(

　　)

　　A.m≤-2 B.m≥2

　　C.m≥2或m≤-2 D.-2≤m≤2

　　【解题指南】先判断命题p,q的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.

　　【解析】选B.由p或q为假,得p,q都是假命题,从而 p, q都是真命题.

　　p:对任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;

　　q:存在x0∈R, +mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,

　　解得m≥2或m≤-2.

　　综上所述,m≥2为所求.

　　二、填空题(每小题4分,共12分)

　　7.(2014•深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定为

　　

　　

　　

　　,否命题为　________________________.

　　【解析】全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若 p,则 q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等.

　　答案:有的同位角不相等　若两个角不是同位角,则它们不相等

　　【误区警示】解答本题易混淆命题的否定与否命题的概念,命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.

　　8.(2014•长春高二检测)设命题p:∀x∈R,x2+ax+2<0,若 p为真,则实数a的取值范围是　___________________.

　　【解析】因为 p为真,又 p:∃x0∈R, +ax0+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,所以a∈R.

　　答案:a∈R

　　9.命题“∃x0,y0<0, + ≥2x0y0”的否定为 　______ ________________.

　　【解析】命题是特称命题,其 否定是全称命题,否定为:∀x,y<0,x2+y2<2xy.

　　答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy

　　三、解答题(每小题10分,共20分)

　　10.(2014•日照高二检测)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.

　　【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.

　　若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,

　　则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.

　　当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;

　　当m≠0时,有m<0,Δ=4-4m2<0,

　　所以m<-1.[来

　　若q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0为真,

　　则方程 +2x0-m-1=0有实根,

　　所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.

　　又p∧q为真,故p,q均为真命题.

　　所以m<-1且m≥-2,

　　所以-2≤m<-1.

　　11.写出下列命题的否定,判断其真假并给出证明.

　　命题:已知a=(1,2),存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行.

　　【解题指南】先写出否 定,再判真假,最后给出证明.

　　【解析】命题的否定:已知a=(1,2),则对任意的b=(x,1),a+2b与2a-b都不平行,是一个假命题.

　　证明如下:假设存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行,则a +2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).

　　2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).

　　因为a+2b与2a-b平行,

　　所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).

　　即(2x+1,4)=λ(2-x,3).

　　所以 ⇔2x+1= (2-x).

　　解得x= .

　　这就是说存在b= 使a+2b与2a-b平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.

　　(30分钟　50分)

　　一、选择题(每小题4分,共16分)

　　1.(2012•湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(

　　)

　　A.任意一个有理数,它的平方是有理数

　　B.任意一个无理数,它的平方不是有理数

　　C.存在一个有理数,它的平方是有理数

　　D.存在一个无 理数,它的平方不是有理数

　　【解析】选B.特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,然后再否定结论即可.

　　2.已知命题p:∀n∈N,2n >1000,则 p为(

　　)

　　A.∀n∈N,2n≤1000 B.∀n∈N,2n<1000

　　C.∃n0∈N, ≤1000 D.∃n0∈N, <1000

　　【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,故 p:∃n0∈N, ≤1000.

　　【举一反三】若本题中的命题p换为“∃n0∈N, >1000”,其他条件不变,结论又如何呢?

　　【解析】选A.将存在量词“∃”改为全称量词“∀”, 然后否定结论即可, p:

　　∀n∈N,2n≤1000.

　　3.(2014•大连高二检测)命题p:x=2且y=3,则 p为(

　　)

　　A.x≠2或y≠3 B.x≠2且y≠3

　　C.x=2或y≠3 D.x≠2或y= 3

　　【解题指南】“且”的否定为“或”,然后否定结论即可.

　　【解析】选A.将“且”改为“或”,将x=2与y=3都否定即为原命题的否定, p为:x≠2或y≠3.

　　4.下列关于命题p:“∃x0∈R, =sinx0”的叙述正确的是(

　　)

　　A. p:∃x0∈R, ≠sinx0

　　B. p:∀x∈R, =sinx

　　C.p是真命题, p是假命题

　　D.p是假命题, p是真命题

　　【解析】选C.命题p:“∃x0∈R, =sinx0”的否定是 p:∀x∈R, ≠sinx.

　　当x=0时, =sinx,所以p是真命题, p是假命题.

　　二、填空题(每小题5分,共10分)

　　5.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是

　　

　　　.

　　【解析】根据全称命题的否定形式写.

　　答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3

　　6.(2014•兰州高二检测)已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是　_______.

　　【解析】命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真,则a≤x2,x∈[1,2]恒成立,所以a≤1;

　　命题q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”为真,则“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.

　　若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.

　　答案:{a|a≤-2或a=1}

　　【变式训练】已知命题p:∃x0∈R, +2ax0+a=0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是

　　

　　.

　　【解析】方法一:若命题p:∃x0∈R, +2ax0+a=0是真命题,则Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.

　　因为命题p是假命题,所以a(a-1)<0,解得0

　　方 法二:依题意,命题 p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命题,则Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0

　　答案:(0,1)

　　三、解答题(每小题12分,共24分)

　　7.写出下列命题的否定,并判断其真假.

　　(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.

　　(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.

　　(3)r:等圆的面积相等,周长相等.

　　(4)s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.

　　【解析】(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是 p:“存在实数m0,使得x2+x-m0=0没有实数根”.

　　注意到当Δ=1+4m0<0时,即m0<- 时,一元二次方程没有实数根,所以 p是真命题.

　　(2)这一命题的否定形式是 q :“对所有实数x,都有x2+x+1>0”;利用配方法可以证得 q是一个真命题.

　　(3)这一命题的否定形式是 r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知 r是一个假命题.

　　(4)这一命题的否定形式是 s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α0≠1”.由于命题s是真命题,所以 s是假命题.

　　8.(2014•汕头高二检测)设p:“∃x0∈R, -ax0+1=0”,q:“函数y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)上的值域为[1,+∞)”,若“p∨q”是假命题,求实数a的取值范围.

　　【解析】由 -ax0+1=0有实根,

　　得 Δ=a2-4≥0⇒a≥2或a≤-2.

　　因此命题p为真命题的范围是a≥2或a≤-2.

　　由函数y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)的值域为[1,+∞),得a≥0.

　　因此命题q为真命题的范围是a≥0.

　　根据p∨q为假命题知:p,q均是假命题,p为假命题对应的范围是-2

　　这样得到二者均为假命题的范围就是 ⇒-2

全称量词与存在量词教案导入第 4 篇

　　一、内容和内容解析

　　1.内容

　　全称量词的概念，全称量词命题及其形式，存在量词的概念，存在量词命题及其形式。

　　2.内容解析

　　在数学中，一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断其真假，因此就不是命题。但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为命题。我们把这样的短语称为量词，此时含有量词的陈述句就成为可以研究真假性的命题了，这是在数学中非常常用的一类命题，也就是本节要研究和学习的全称量词命题和存在量词命题。

　　短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号表示。含有全称量词的命题叫做全称量词命题。全称量词命题“对M任意一个x，p(x)成立”，成立”可用符号简记为“”。这样就得到了全称量词命题形式。

　　短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，用符号表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。存在量词命题“存在M任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“ ”。这样就得到了存在量词命题的形式。

　　熟悉了全称量词命题和存在量词命题的形式，并能够判断其真假，这样就使命题形式更加丰富，能够更精准和更高效地表达数学问题和结论，使数学表达和交流更具严谨性和准确性。

　　基于以上分析，确定本节课的教学重点是全称量词命题和存在量词命题的理解。

　　二、目标和目标解析

　　1.目标

　　（1）通过学过的数学实例，理解全称量词的意义，掌握全称量词命题的形式，能判断全称量词命题的真假；

　　（2）通过学过的数学实例，理解存在量词的意义，掌握存在量词命题的形式，能判断存在量词命题的真假。

　　2.目标解析

　　达成上述目标的标志是：

　　（1）通过对一些含有变量的陈述句的梳理，能够认识全称量词和全称量词命题，能够掌握对全称量词命题的真假性的判断方法，即判断全称量词命题为真命题，需要对每一个变量，语句都成立；判断为假命题，只需要找到一个使语句不成立的变量。

　　（2）通过对一些含有变量的陈述句的梳理，能够认识存在量词和存在量词命题，能够掌握对存在量词命题的真假性判断的方法，即判断存在量词命题为真命题，只需要找到一个或证明存在使语句成立的变量；判断为假命题，需要证明对每一个变量，语句都不成立。

　　三、教学问题诊断分析

　　含有变量的陈述句是大量存在的，当用量词限定了变量的范围后就形成了命题。对学生而言，初中学习过一些含有全称量词和存在量词的命题，例如“平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”，“ ”等，这些并不陌生。通过本节课可以将其归纳并用确定的符号表示出来。学生的学习难点在于判断一个命题是否为含有量词的命题，所以在教学过程中需要注意帮助学生提炼语句中的量词，并更多地把自然语句转化成标准的全称量词命题和存在量词命题形式量词引导的逻辑语句。由于在之前的学习过程中学习过的数学定理、规律、公式基本上都是普适性的，对所有变量都成立的命题非常多，所以学生理解全称量词命题并不困难，判断其真假性的方法也相对容易接受。但在教学过程中仍需要对全称量词命题由自然语句向标准的全称量词命题形式的转化通过多举例子的方式引导学生完成。相对而言，存在量词命题是对部分变量甚至是唯一变量成立的，不常以结论形式出现，在学生之前的学习过程中出现得相对较少，学生掌握起来稍有难度。学生对命题中不同的存在量词的识别上以及对存在量词命题叙述的真假性判断中都有可能出现理解的障碍，所以在存在量词命题的教学中可以更多的举例分析，帮助学生找到量词，并锻炼学生将自然语言语句向逻辑语言语句转化的能力。存在性问题是一类重要的数学问题，通过本节中对存在量词命题的学习和研究，学生能够更好的理解和掌握存在性问题的处理方法。

　　本节课的教学难点是理解存在量词命题的概念及判断其真假性。

　　四、教学过程设计

　　（一）概念的引入

　　问题1：命题是可以判断真假的陈述句，但是我们会碰到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么，所以无法判断真假。你能想到这样的例子吗？同时也有一些例子中含有变量却能够判断真假，你能想到类似的例子吗？

　　师生活动：教师和学生一起举例子，通过分析这两种例子进行对比，发现其中的区别和联系。

　　设计意图：引导学生发现含有变量的陈述句能否成为命题的关键在于是否对变量的取值情况进行了限定，从而引出量词的概念。

　　（二）概念的形成

　　问题2：阅读教科书第24页“思考”，关于“思考”中的4个语句，它们都是命题吗？为什么？

　　师生活动：学生判断（1）~（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问。

　　追问：（1）比较语句（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？

　　（2）比较语句（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？

　　师生活动：学生回答问题，进行对比发现。

　　教师总结，提炼出短语“所有的”“任意一个”等并给出全称量词的概念。

　　设计意图：让学生有针对性地进行对比，从而发现其中的短语的特点和所起到的作用。

　　（三）概念的理解

　　问题3：你能再举几个含有全称量词的命题的例子吗？

　　师生活动：学生举例子，教师展示学生所举的例子，给出全称量词命题的概念，并根据学生情况提出以下问题进行追问。

　　追问：（1）通过所举例子，你能表示出全称量词命题的一般形式吗？

　　师生活动：教师通过所举例子，引导学生表示出全称量词命题的一般形式。

　　追问：（2）你能判断出刚才所举例子的真假性吗？

　　师生活动：学生回答问题，教师总结方法。

　　设计意图：通过大量实例强化学生对量词的认识，包括其他常见全称量词短语的使用举例，同时锻炼学生使用符号语言的能力。

　　（四）概念的巩固应用

　　例1判断下列全称量词命题的真假。

　　（1）所有的素数都是奇数；

　　（2） ；

　　（3）对任意一个无理数x，也是无理数。

　　师生活动：学生回答问题，教师给出解答示范。

　　设计意图：强化学生对全称量词命题真假性的判断方法：真命题需证明，假命题“举反例”。

　　（五）概念的形成

　　问题4：阅读教科书第25页“思考”，关于思考中的4个语句，它们都是命题吗？为什么？

　　师生活动：学生判断（1）~（4）是否为命题，教师根据学生情况可以选择以下问题进行追问。

　　追问：（1）比较语句（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？

　　（2）比较语句（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？

　　师生活动：学生回答问题，互相讨论，进行对比思考。

　　教师总结，提炼出短语“存在一个”“至少有一个”并给出存在量词的概念。

　　设计意图：让学生有针对性地进行对比，从中体会短语“存在”的含义及作用。

　　（六）概念的深化及应用

　　问题5：你能再举几个含有存在量词的命题的例子吗？

　　师生活动：学生举例子，教师展示学生所举的例子，给出存在量词命题的概念，并根据学生情况提出以下问题进行追问。

　　追问：（1）通过所举例子，你能表示出存在量词命题的一般形式吗？

　　师生活动：学生根据本节课的活动经验，独立给出存在量词命题的符号化表示。

　　追问：（2）你能判断出刚才所举例子的真假性吗？

　　师生活动：学生回答问题，教师总结方法。

　　追问：（3）存在量词短语“有些”“有一个”“有的”等等，他们所蕴含的意义相同吗？

　　师生活动：学生思考，讨论交流，教师总结方法。

　　设计意图：前两个问题完全对比全称量词命题的处理方法，学生经过了全称量词的学习能够做好对比研究，但相对而言，存在量词短语形式较多更不易理解，故增加追问（3）让学生辨析更清晰。

　　例2 判断下列存在量词命题的真假。

　　（1）

　　（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；

　　（3）有些平行四边形是菱形。

　　师生活动：学生回答问题并阐述方法。教师作总结并作解答示范。

　　设计意图：通过真假性判断使学生更进一步理解存在量词的含义，并能作出准确的真假性判断。

　　（六）归纳小结、布置作业

　　教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题。

　　（1）什么是全称量词和全称量词命题？如何判断全称量词命题的真假？

　　（2）什么是存在量词和存在量词命题？如何判断存在量词命题的真假？

　　设计意图：从知识内容和研究方法两方面回顾和总结本节内容。

　　布置作业：教科书第26页练习1，2，习题1.5 1，2.

　　五、目标检测设计

　　1.判断下列语句是否是命题，如果是，判断是全称量词命题还是存在量词命题。

　　（1）是无理数；

　　（2）所有的二次函数都有一条对称轴；

　　（3）有的平行四边形两条对角线互相垂直。

　　设计意图：检验学生是否正确理解和准确把握全称量词命题和存在量词命题。

　　2.判断下列命题的真假。

　　（1）有一组对边互相平行的四边形都是梯形；

　　（2）有些正整数的平方是素数；

　　（3）

　　（4）

　　设计意图：检验学生是否掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的方法。