柯西不等式教案

这是柯西不等式教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

柯西不等式教案第 1 篇

认识不等式

教学目标:

通过对具体实例的学习，使学生能够了解生活中的不等量关系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，为以后学习不等式的解法奠定基础.

知识与能力:

1.通过对具体事例的分析和探索，得到生活中不等量的关系.

2.通过理解得到不等式的概念，从而使学生经历实际问题中数量的分析、抽象过程，体会现实中有各种各样错综复杂的数量关系.

3.了解不等式的意义，知道不等式是用来刻画生活中的数量关系的.

4.知道什么是不等式的解.

过程与方法:

1.引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系.

2.引导并帮助学生列出不等式，分析不等式的成立条件.

3.通过分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.

4.通过习题巩固和加深对概念的理解.

情感、态度与价值观:

1.通过学生的分析和抽象过程使他们体会现实中错综复杂的数量关系，从而培养其抽象思维能力.

2.通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团体协作精神，使学生获得合作交流的学习方式.

3.通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育.

4.通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳、整理，尝试对有理数进行分类，体验教学活动充满着探索性和创造性.

教学重、难点及教学突破

重点: 不等式的概念和不等式的解的概念.

难点: 对文字表述的数量关系能列出不等式.

教学突破: 由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解，但还没有接触过含未知数的不等式，在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系，研究它们的变化规律，使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处. 在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识，让学生感受其中的函数思想，并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区别.在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识，准确“译出”不等式.

教学过程：

一. 研究问题：

世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?

那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢

二. 新课探究：分析上面的问题:设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票? ②若x<30, 则又该如何买票呢?

结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?

概括：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号>,<,≥,≤.

2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.

3、不等式的分类：⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.

⑵条件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.

三、基础训练.

例1、用不等式表示： ⑴ a是正数;⑵ b不 是负数;⑶ c是非负数; ⑷ x 的平方是非负数;⑸ x的一半小于-1;⑹ y与4的和不小于3.

注：⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应;

⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系.

例2、用不等式表示： ⑴ a与1的和是正数;⑵ x的2倍与y的3倍的差是非负数;⑶ x的2倍与1的和大于—1;⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.

例3、当x=2时，不等式x-1<2成立吗?当x=3呢?当x=4呢?

注：⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立. ⑵代入法是检验不等式的解的重要方法.

学生练习：课本P42练习1、2、3.

四、能力拓展

学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上(含50人)的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票.

⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜;

⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜.

解：⑴按实际45人购票需付钱_________　元，如果按50人购买团体票则需付钱50×12×80%=480元，所以购买团体票便宜.

⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________，

由①得，当x=45时，上式成立，让我们再取一些数据试一试，将结果填入下表：

x 12x 比较480与12x的大小 48<12x成立吗?

30

40

41

42

由上表可见，至少要__________人时进电影院，购团体票才合算.

五、小结:⑴不等式的定义，不等式的解.

⑵对实际问题中探索得到的不等式的解，不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.

六、作业: 课本P42习题8.1第1、2、3题.

补充题：

1.用不等式表示：

(1) 与1的和是正数; (2) 的 与 的 的差是非负数;

(3) 的2倍与1的和大于3; (4) 的一半与4的差的绝对值不小于 .

(5) 的2倍减去1不小于 与3的和; (6) 与 的平方和是非负数;

(7) 的2倍加上3的和大于-2且小于4; (8) 减去5的差的绝对值不大于

2.小李和小张决定把省下的零用钱存起来.这个月小李存了168元，小张存了85元.下个月开始小李每月存16元，小张每月存25元.问几个月后小张的存款数能超过小李?(试根据题意列出不等式，并参照教科书中问题1的探索，找出所列不等式的解)

3.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元，(1)设从乙仓库调往A县农用车 辆，用含 的代数式表示总运费W元;(2)请你用尝试的方法，探求总运费不超过900元，共有几种调运方案?你能否求出总运费最低的调运方案.

柯西不等式教案第 2 篇

第8章 一元一次不等式

8.1 认识不等式 【教学目标】 知识与技能

1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式.

2.正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

3.理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否某个不等式的解.

过程与方法

经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性. 情感态度与价值观

使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获. 【教学重点】

能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式. 【教学难点】

理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否某个不等式的解.

【教学过程】 （一）情境引入

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:

【名师测控】2016春七年级数学下册 8.1 认识不等式教案 (新版)华东师大版

情境1：如图，天平左盘放三个苹果，右盘放200克砝码，天平倾斜.设每个苹果的质量为x 克，怎样表示x 与200之间的关系？

先引导学生独立思考、合作交流，再根况出示思考题：

1．天平左边的三个苹果的总质量如何用含x 的代数式表示？ 2．天平哪边重？

3．应该用怎样的符号才能把表示天平左右两边的代数式连接起来？ 答案：3x ＞200,或200＜3x.

由实际问题入手，既体现数学知识的实用性，又激发学生的学习兴趣.

【名师测控】2016春七年级数学下册 8.1 认识不等式教案 (新版)华东师大版

情境2:如图,小明与小聪玩跷跷板,大家都不用力时,跷跷板左低右高.小明体重50千克,小聪体重a 千克,小聪背的书包重2千克,小明没有背书包.怎样表示a 与50之间的关系呢?

票价

每张票5元;一

次购票满30张，

每张票4元.

在上个情境的启发下，学生分组讨论后可以很快得到答案：a+2＞50,或50＜a+2.

通过上面两个实例,学生们切实经历了不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不等关系的需要而产生的数学模型. 接着师生互动进行归纳：

引导学生思考:上面的4个式子:3x ＞200，200＜3x,a+2＞50，50＜a+2. 有什么共同特征?它们是等式吗?

目的是引导学生回忆等式的概念，类比得出不等式的概念：

用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality ）. 教师顺势引出本节课题：§8.1认识不等式 同时告诉学生：“≠”、“≥”、“≤”也是不等号,并利用下表加深印象. 常见不等号的读法和意义： 通过以上探索，学生很自然地理解了不等式的意义及常见的不等号的读法和意义，本节重点和难点都得到了初步突破. （二）新知探究

情境3：春光明媚的一天，某班的27名同学到世纪公园游园.

问题1呢？为什么?

左边的量大于或小于右边的量

小方：买27张票，付款：5×27=135(元);

小敏：买30张票，付款：4×30=120(元).

显然120<135.

这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上节省了.

问题2: 我们只用120元就买了30张票，买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票，那么剩下的3张票如何处理呢？

刹那间,同学们畅所欲言，相互启迪，有的说：“卖掉”,有的说：“到售票处退掉”,有的说：“送给经济困难的学生或者门外的其它游客”……发散性思维训练和思想教育水到渠成. 问题3：买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说任何情况下都是多买票反而花钱少？

如果你们一家三口去游园，是不是也买30张票呢？

为什么去的人少了,买30张票就不合算呢？

问题4：

至少要有多少人去参观，多买票反而合算呢？能否用数学知识来解决？

教师先指出：设有x人要去公园游园.

此时重点启发学生从以下两方面探索，渗透分类思想.

（1）如果x≥30，则按实际人数买票，每张票只付4元.

（2）如果x＜30，那么：按实际人数买票x张,要付款5x元；

买30张票,要付款4×30＝120(元).如果买30张票合算，则120＜5x.

问题5:x取哪些数值时,120＜5x成立？

为便于思考,让学生借助表格进行探究.引导学生有目的地讨论、探索，表内和表下画横线部分都由学生自主完成.

列表计算：

12

5

接着借助学生完成的表格，引导学生观察最后一列，分析、讨论：

X的值可以分为哪几类？

学生很快发现X的值分两类：一类使120＜5x不成立，一类使120＜5x成立.

进一步引导学生类比方程的解的概念概括出不等式的解的概念：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（so lution of inequality）.

（三）例题

例1用不等式表示下列关系，并写出两个满足不等式的数：

（1）x的一半小于－1；

（2）y与4的和大于0.5；

（3）a是负数；

（4）b是非负数.

这是教材第42页的例题，前3个小题,让学生独立思考,教师个别指导完成后,让学生点评.重点启发变式最后一个小题并给出规范的书写过程，如把“b是非负数”变式为“b是负数”、“b是正数”,“b是非正数”等,让学生反复体味不等号的用法和意义.

解：（1）0.5x<-1,如x=-3,-4;

（2）y+4>0.5,如y=0,1;

（3）a<0，如a=-3,-4；

（4）b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b=0，通常可以表示成b ≥0，如b=0,2.

然后启发学生归纳出:

1.列不等式的基本步骤:

（1）确定不等式两边的代数式.

（2）根据所给条件中的关系，选择合适的不等号.

（顺利突出本节重点）

2.常用的表示不等关系的词语及对应的不等号:

②不低于

通过归纳，加深对不等号的用途和意义的理解，第一个难点再次突破.

例2下列各数:0，－3，3，4,－0.5，－20 ,－0.4中, 是方程x+3=0的解；

是不等式x+3＞0的解；是不等式2x+3＜x的解.

此例是为突出重点和难点而增加的题目，体现创造性地拓宽、使用教材.

通过判断这几个数是否方程x+3=0的解,启发学生类比得出:检验一个数是否不等式的解的方法:把所给的数值分别代入不等式的两边，化简后，观察不等式是否成立，成立者即为不等式的解，否则不是.

(第2个难点又一次顺利突破.)

答案：0，－3，3，4,－0.5，－20,－0.4中,－3是方程x+3=0的解；

0，3，4,－0.5,－0.4是不等式x+3＞0的解；-20是不等式2x+3＜x的解.

（四）随堂练习

1.下列各式中的不等式有个.

(1)8＜9； (2)a+b=0； (3)a2+1＞0； (4)3x-1≤x；

(5)x-y≠1； (6)3-x=0； (7)4-2x； (8)x2+y2＞0.

2.下列各数中是不等式5x-1＞0的解的有个.

-9，0，-2，3，1.5，-2.5，7，12.

3.用“＜”或“＞”填空:

（1）7 3；

（2）7+3 4+3；

（3）7+（-1） 4 +（-1）；

（4）7×3 4×3；

（5）7×（-3） 4×（-3）

（6）7÷（-3） 4 ÷（-3）.

4.火眼金睛,下列说法中，哪些是正确的？哪些是错误的？请把错误的加以改正.

（1）“2x与1的和是负数”用不等式表示为：2x+1＜0；

（2）“a与b的差是非负数”用不等式表示为：a-b＞0；

（3）“a的2倍与4的差不小于5”用不等式表示为：2a-4＞5；

（4）“x的相反数与3的和是正数”用不等式表示为：3-x＞0.

解:（1），（4）正确；（2）（3）错误,改正如下：

（2）因为非负数即≥0,可改为:a-b≥0；（3）因为不小于5即≥5,可改为:2a-4≥5.

此题旨在帮助学生充分辨析“负数”、“非负数”、“不小于”等关键词.

5.生活中不等式的应用随处可见,请你说出下列标志表示的含义,并用不等式表示:

其中:宽度、高度、重量、速度分别用L、H、G、V表示.

【名师测控】2016春七年级数学下册 8.1 认识不等式教案 (新版)华东师大版

6.请给x+3＞

5创作一个实

际情景或故事，使它成立.

（五）知识梳理

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

方法:先放手让学生独立归纳,写出反思总结,在小组交流后，选代表在全班发言,老师根据情况完善如下：

两个概念：不等式、不等式的解.

三种思想：建模思想、类比思想、分类思想.

四个注意：一要注意“负数”、“非负数”、“不大于”、“不小于”等关键性词语的含义.二要注意仔细审题,正确列出不等式.

三要注意检验一个数是否某个不等式的解的方法.

四要注意观察生活,让数学更多地服务社会.

柯西不等式教案第 3 篇

　　整体设计

　　教学分析

　　本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　　通过本节课的学习， 让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.

　　在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　　在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上 点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.

　　三维目标

　　1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.

　　2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.

　　3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.

　　重点难点

　　教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.

　　教学难点：准确比较两个代数式的大小.

　　课时安排

　　1课时

　　教学过程

　　导入新课

　　思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.

　　思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学 生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　(1)回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?

　　(2)在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?

　　(3)数轴上的任意两 点与对应的两实数具有怎样的关系?

　　(4)任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?

　　活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a

　　教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.

　　实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.

　　实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA

　　实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

　　实例4：两点之间线段最短.

　　实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

　　实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

　　实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

　　教师进一步点拨：能够发现身 边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

　　教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.

　　实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

　　对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.

　　讨论结果：

　　(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

　　(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

　　应用示例

　　例1(教材本节例1和例2)

　　活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.

　　点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.

　　变式训练

　　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是(

　　)

　　A.f(x)>g(x)

　　

　　

　　 B.f(x)=g(x)

　　C.f(x)

　　答案：A

　　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

　　2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.

　　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　　∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.

　　例2比较下列各组数的大小(a≠b).

　　(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);

　　(2)a4-b4与4a3(a-b).

　　活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.

　　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=(a+b)2-4ab2(a+b)=(a-b)22(a+b).

　　∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴(a-b)22(a+b)>0，即a+b2>21a+1b.

　　(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

　　=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

　　=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

　　∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，

　　又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

　　∴a4-b4<4a3(a-b).

　　点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.

　　变式训练

　　已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.

　　活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.

　　解：xy-1=x-yy.

　　∵x>y，∴x-y>0.

　　当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

　　当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

　　点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.

　　例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积， 住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.

　　活动：解题关键首先是把文 字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.

　　解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

　　由于a+mb+m-ab=m(b-a)b(b+m)>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

　　因此a+mb+m>ab≥10%.

　　所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.

　　点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.

　　变式训练

　　已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则(

　　)

　　A.a1+a8>a4+a5

　　

　　

　　　 B.a1+a8

　　C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定

　　答案：A

　　解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

　　=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

　　∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.

　　又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

　　知能训练

　　1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为(

　　)

　　A.3 B.2 C.1 D.0

　　2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.

　　答案：

　　1.C　解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，

　　③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

　　∴只有①恒成立.

　　2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，

　　所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

　　课堂小结

　　1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.

　　2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.

　　作业

　　习题3—1A组3;习题3—1B组2.

　　设计感想

　　1.本节设计关注了教学方法 的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学 过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.

　　2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历 来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.

　　3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.

　　备课资料

　　备用习题

　　1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.

　　2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

　　3.已知x>0，求证：1+x2>1+x .

　　4.若x

　　5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.

　　参考答案：

　　1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

　　=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

　　=1>0，

　　∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

　　2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

　　=m2-2m+5+2m-5

　　=m2.

　　∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

　　∴m2-2m+5≥-2m+5.

　　(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

　　=a2-4a+3+4a-1

　　=a2+2.

　　∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

　　∴a2-4a+3>-4a+1.

　　3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2

　　=1+x+x24-(x+1)

　　=x24，

　　又∵x>0，∴x24>0.

　　∴(1+x2)2>(1+x)2.

　　由x>0，得1+x2>1+x.

　　4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

　　=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

　　=-2xy(x-y).

　　∵x0，x-y<0.

　　∴-2xy(x-y)>0.

　　∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

　　5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，

　　当a>b>0时，ab>1，a-b>0，

　　则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.

　　当b>a>0时，0

　　则(ab)a-b>1.

　　于是aabb>abb a.

　　综上所述，对于不 相等的正数a、b，都有aabb>abba.

柯西不等式教案第 4 篇

　　教学准备

　　教学目标

　　熟练掌握不等式的证明问题

　　教学重难点

　　熟练掌握不等式的证明问题

　　教学过程

　　不等式的證明二

　　【基礎訓練】

　　1.若，，則下列不等始終正確的是( )

　　2.設a，b為實數，且，則的最小值是( )

　　4.求證：對任何式數x，y，z，下述三個不等式不可能同時成立