含比例的三元一次方程组解法

这是含比例的三元一次方程组解法，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

含比例的三元一次方程组解法第 1 篇

解三元一次方程组的基本思想是消元，即先将三元转化为二元、再将二元转化为一元，最终达到求出未知数的值的目的。

下面举例分析三元一次方程组的解法。

第一，对于一些特殊的方程组，可根据方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法（如整体求解、设比例系数等）来消元。

例1解方程组x12=y13=z15，①

x-2y+3z=22。②

分析：因为①是一个连等的形式，所以可根据其特点令其等于一个常数k，直接将三元转化为一元求解。

解：设x12=y13=z15=k，

所以x=2k，y=3k，z=5k。

把它们代入②，整理得2k-6k+15k=22，解得k=2。

进而解得x=4，y=6，z=10。

所以原方程组的解为x=4，

y=6，

z=10。

第二，若方程组中某个方程缺某个元，则可从另外两个方程消去这个元，转化为二元一次方程求解。

例2解方程组x+3y+2z=2，①

2x-y=7，②

3x+2y-4z=3。③

分析：由于方程②中缺少z项，所以先利用①、③消去z。

解：①×2+③，得5x+8y=7。④

②×8+④，得21x=63，即x=3，从而得y=1。

把x=3，y=1代入①，得z=1。

第三，整体代入消元。

例3解方程组x+y+z=26，①

x-y=1，②

2x+z-y=18。③

分析：将方程③左边变形为含有方程①、②左边代数式的形式，作整体代入便可消元求解。

解：方程③变形为。（x+y+z）+（x-y）-y=18。④

把①、②代入④，得26+1-y=18，解得y=9。

把y=9代入②，得x-9=1，解得x=10。

把x=10，y=9代入①，得z=7。

第四，设参数消元法。

例4解方程组x+y=1，①

y+z=6，②

z+x=3。③

分析：方程组的各个方程中所含未知数个数相等，且未知数的系数都是1，如果将三个方程相加，则可得x+y+z=5，用x+y+z=5减去每个方程，可以得到方程组的解。

解：①+②+③，得2（x+y+z）=10，即x+y+z=5。 ④

由④-①，得z=4，

④-②，得x=-1，

④-③，得y=2。

所以方程组的解为x=-1，

y=2，

z=4。

第五，先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数。

例5解方程组2x+4y+3z=9，①

3x-2y+5z=11，②

5x-6y+7z=13。③

分析：三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单。

解：①+②×2，得8x+13z=31。④

②×3-③，得4x+8z=20。⑤

④、⑤两个方程中x的系数成倍数关系，易消去x，由⑤×3-④，得3z=9，即z=3。

把z=3代入⑤，得x=-1。

把x=-1，z=3代入①，得y=112。

综上所述，在解三元一次方程组时，学生应具体问题具体分析，找出其结构特点及系数之间的关系，灵活巧妙地消元，从而提高解题能力。

含比例的三元一次方程组解法第 2 篇

　　三元一次方程组的解法

　　主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。其思路都是利用消元法逐步消元。

　　步骤：

　　①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；

　　②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

　　③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。

　　拓展阅读：三元一次方程组的概念

　　含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，叫做三元一次方程组。方程组中，少于3个方程时，无法求所有未知数的解，这时叫做三元一次不定方程。

　　三元一次方程是几年级学的

　　三元一次方程是七年级学的。含有三个未知数并且未知数的的项的次数都是一，这样的整式方程叫做三元一次方程。共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组整式方程，叫做三元一次方程组。主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程组难解就用代入消元法，因题而异（与二元一次方程的解法相似）。通过消元后转化为二元一次方程组，再消元转化为一元一次方程，再解答。

含比例的三元一次方程组解法第 3 篇

1.三元一次方程及三元一次方程组 (1)三元一次方程：

含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.

(2)三元一次方程组：

①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.如：

⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，y ＋z ＝3，x －2z ＝5，⎩⎨⎧

x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7

等都是三元一次方程组.

②拓展理解：

a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；

b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数.

【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( ).

A.⎩⎨⎧

x 2－y ＝1，

y ＋z ＝0，xz ＝2

B.⎩⎪⎨⎪⎧

1

x ＋y ＝1，

1

y ＋z ＝2，

1z ＋x ＝6

C.⎩⎨⎧

a ＋

b ＋

c ＋

d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3

D.⎩⎨⎧

m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0

解析：A ，B 选项中有的方程不是三元一次方程，C 中含有四个未知数，只有D 符合三元一次概念内涵，故选D.

答案：D

2.三元一次方程组的解

(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，

含比例的三元一次方程组解法第 4 篇

消元是解三元一次方程组的关键，若能根据各未知数系数的特点，灵活地进行消元，则可以提高解题速度。

一、先消系数最简单的未知数

3x-y+2z=3 ， ①

例1 解方程组 2x+y-3z=11， ②

x+y+z=12 。 ③

分析 三个方程中，y的系数的绝对值都是1，所以先消去y比较简单。

二、先消某个方程中缺少的未知数

4x-9z=17， ①

例2 解方程组 3x+y+15z=18， ②

x+2y+3z=2。 ③

分析 因为方程①中缺少y，所以由②③先消去y比较简单。

三、先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数

2x+4y+3z=9， ①

例3 解方程组 3x-2y+5z=11， ②

5x-6y+7z=13。 ③

分析 三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单。

四、整体代入消元

x+y+z=26， ①

例4 解方程组 x-y=1 ， ②

2x+z-y=18 , ③

分析 将方程③左边变形为含有方程①、②左边代数式的形式，作整体代入便可消元求解。

五、整体加减消元

3x+2y+z=13， ①

例5 解方程组 x+y+2z=7 ， ②

2x+y-z=12 。 ③

分析 观察三个方程中未知数x、z的系数特点，可用整体加减消元法来解。

六、设比值参数消元

x∶y=3∶2， ①

例6 解方程组 y∶z=5∶4， ②

x+y+z=66 。 ③

分析 方程组中前两个方程是比例式，可用设比值参数法消元求解。

七、轮换相加法

x+y-z=11， ①

例7 解方程组 y+z-x=5， ②

z+x-y=1。 ③

分析 观察发现每两个方程都有两对互为相反数，故两两相加均可同时消去两个元。

八、巧选主元法

x-y-z=0 ， ①

例8 解方程组 x+y-3z=4， ②

2x+3y-5z=14。 ③

分析 选x、y为主元，由①、②能迅速解出x、y，从而可使问题获得巧解。