《勾股定理的证明》预习练习

这是《勾股定理的证明》预习练习，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。

　　【证法1】(赵爽证明)

　　以a、b 为直角边(b>a)， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

　　∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

　　∴ ∠HDA = ∠EAB.

　　∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

　　∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

　　∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

　　∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.

　　∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

　　∴

　　∴ .

　　【证法2】(课本的证明)

　　做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

　　从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

　　， 整理得 .

　　【证法3】(1876年美国总统Garfield证明)

　　以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

　　∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

　　∴ ∠ADE = ∠BEC.

　　∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

　　∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

　　∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

　　∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.

　　又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

　　∴ AD∥BC.

　　∴

　　ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

　　∴ .

　　∴.

　　【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。

　　【证法4】(欧几里得证明)

　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.

　　∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

　　∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

　　∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.

　　∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

　　∴ ，即 .

　　【证法5】(利用相似三角形性质证明)

　　如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

　　在ΔADC和ΔACB中，

　　∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，

　　∴ ΔADC ∽ ΔACB.

　　∴AD∶AC = AC ∶AB，即 .

　　同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，

　　从而有 .

　　∴ ，即

　　【证法6】(邹元治证明)

　　以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

　　∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

　　∴ ∠AHE = ∠BEF.

　　∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

　　∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

　　∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

　　∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.

　　∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

　　∴ ∠HGD = ∠EHA.

　　∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

　　∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

　　又∵ ∠GHE = 90º,

　　∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

　　∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

　　∴ .

　　∴ .

　　【证法7】(利用切割线定理证明)

　　在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c.

　　如图，以B为圆心a为半径作圆，

　　交AB及AB的延长线分别于D、E，

　　则BD = BE = BC = a.

　　因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，

　　所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

　　=== ，

　　即，∴ .

　　【证法8】(作直角三角形的内切圆证明)

　　在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F(如图)，设⊙O的半径为r.

　　∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

　　∴

　　= = r + r = 2r,即 ，

　　∴ .

　　∴ ，

　　即 ，

　　∵ ，

　　∴ ，

　　又∵ = =

　　= = ，

　　∴ ，

　　∴ ，

　　∴ ，

　　∴ .