集合的基本运算教学设计一等奖

这是集合的基本运算教学设计一等奖，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

集合的基本运算教学设计一等奖第1篇

　　教学分析

　　课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等.

　　值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算.

　　三维目标

　　1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力.

　　2.通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想.

　　重点难点

　　教学重点：交集与并集、全集与补集的概念.

　　教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系.

　　课时安排

　　2课时

　　教学过程

　　第1课时

　　导入新课

　　思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5+3=8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.

　　思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗?

　　(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

　　(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}.

　　引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容.

　　思路3.(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系?

　　图1

　　②观察集合A，B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

　　学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算.

　　(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.

　　②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　(1)通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么?

　　(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系.

　　(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系.

　　(4)试用Venn图表示A∪B=C.

　　(5)请给出集合的并集定义.

　　(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗?

　　请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系?

　　①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

　　②A={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}.

　　(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达.

　　活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示.

　　讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C，读作A并B.

　　(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.

　　(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

　　(4)如图1所示.

　　(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示.

　　(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

　　(7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.

　　其含义用符号表示为：

　　A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　用Venn图表示，如图2所示.

　　图2

　　应用示例

　　例1 集合A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么?

　　活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.

　　解：因为A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

　　图3

　　点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.

　　变式训练

　　1.设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

　　解：对任意m∈A，则有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.

　　而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

　　2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.

　　解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3};还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.

　　3.设集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

　　解：∵A∩B={9}，则9∈A，a-1=9或a2=9.

　　∴a=10或a=±3.

　　当a=10时，a-5=5 ,1-a=-9;

　　当a=3时，a-1=2不合题意;

　　当a=-3时，a-1=-4不合题意.

　　故a=10.此时A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，满足A∩B={9}.

　　4.设集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

　　A.{x|-3

　　C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

　　解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

　　观察或由数轴得A∩B={x|-3

　　答案：A

　　例2 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

　　活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A，B的关系.集 合A是方程x2+4x=0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示 法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值.

　　解：由题意得A={-4,0}.

　　∵A∩B=B，∴B⊆A.

　　∴B= 或B≠ .

　　当B= 时，即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解，

　　则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　当B≠ 时，若集合B仅含有一个元素，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

　　此时，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合题意.

　　若集合B含有两个元素，则这两个元素是-4,0，

　　即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

　　则有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

　　解得a=1，则a=1符合题意.

　　综上所得，a=1或a≤-1.

　　变式训练

　　1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?

　　解：由题意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用数轴得 解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

　　2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，试求实数m的取值范围.

　　分析：由A∪B=A得B⊆A，则有B= 或B≠ ，因此对集合B分类讨论.

　　解：∵A∪B=A，∴B⊆A.

　　又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .

　　当B= 时，有m+1>2m-1，∴m<2.

　　当B≠ 时，观察图4：

　　图4

　　由数轴可得 解得2≤m≤3.

　　综上所述，实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3，即m≤3.

　　点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.

　　知能训练

　　课本本节练习1,2,3.

　　【补充练习】

　　1.设集合A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，

　　(1)求A∩B，A∪B.

　　(2)用适当的符号(⊇，⊆)填空：

　　A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.

　　解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，

　　则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.

　　又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B={3,4,5,6,7,8}.

　　(2)由Venn图可知

　　A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.

　　2.设A={x|x<5}，B={x|x≥0}，求A∩B.

　　解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5，

　　故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.

　　3.设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B.

　　解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分.

　　所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}= .

　　4.设A={x|x>-2}，B={x|x≥3}，求A∪B.

　　解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B={x|x>-2}.

　　5.设A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.

　　解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B={x|x是平行四边形}.

　　6.已知M={1}，N={1,2}，设A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

　　分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素.

　　解：∵M={1}，N={1,2}，∴A={(1,1)，(1,2)}，B={(1,1)，(2,1)}，故A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}.

　　7.若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有(

　　)

　　A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=

　　解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B=B∩C，

　　∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.

　　思路二：取满足条件的A={1}，B={1,2}，C={1,2,3}，排除B，D，

　　令A={1,2}，B={1,2}，C={1,2}，则此时也满足条件A∪B=B∩C，

　　而此时A=C，排除C.

　　答案：A

　　拓展提升

　　观察：(1)集合A={1,2}，B={1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系;

　　(2)当A= 时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系;

　　(3)当A=B={1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系.

　　由(1)(2)(3)你发现了什么结论?

　　图5

　　活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集 合A，B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系.(1)(2)(3)中的集合A，B均满足A⊆B，用Venn图表示，如图5所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系.

　　解：A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.

　　用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：

　　A∪B=B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B);A∪A=A，A∪ =A，A⊆B⇔A∪B=B;

　　A∩B=B∩A;(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B;A∩A=A;A∩ = ;A⊆B⇔A∩B=A.

　　课堂小结

　　本节主要学习了：

　　1.集合的交集和并集.

　　2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.

　　作业

　　1.课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律?

　　2.请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义.

　　3.书面作业：课本习题1.1，A组，6,7,8.

　　设计感想

　　由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法.

　　第2课时

　　导入新课

　　问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x-3)=0，其结果会相同吗?

　　②若集合A={x|0

　　学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范 围”问题就是本节学习的内容，引出课题.

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　①用列举法表示下列集合：

　　A={x∈Z|(x-2) =0};

　　B={x∈Q|(x-2) =0};

　　C={x∈R|(x-2) =0}.

　　②问题①中三个集合相等吗?为什么?

　　③由此看，解方程时要注意什么?

　　④问题①中，集合Z，Q，R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义.

　　⑤已知全集U={1,2,3}，A={1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.

　　⑥请给出补集的定义.

　　⑦用Venn图表示∁UA.

　　活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围.

　　讨论结果：①A={2}，B=2，-13，C=2，-13，2.

　　②不相等，因为三个集合中的元素不相同.

　　③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同.

　　④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.

　　⑤B={2,3}.

　　⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集.

　　集合A相对于全集U的补集记为∁UA，即∁UA={x|x∈U，且x A}.

　　⑦如图6所示，阴影表示补集.

　　图6

　　应用示例

　　思路1

　　例1 设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.

　　活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出∁UA，∁UB.

　　解：根据题意，可知U={1,2,3,4,5,6,7,8}，

　　所以∁UA={4,5,6,7,8}，∁UB={1,2,7,8}.

　　点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果.

　　常见结论：∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).

　　变式训练

　　1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}，则(∁UA)∩(∁UB)等于(

　　)

　　A.{1,6}

　　

　　　B.{4,5}

　　C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}

　　解析：思路一：观察得(∁UA)∩(∁UB)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.思路二：A∪B={2,3,4,5,7}，则(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={1,6}.

　　答案：A

　　2.设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,4}，B={2}，则A∩(∁UB)等于(

　　)

　　A.{1,2,3,4,5} B.{1,4}

　　C.{1,2,4} D.{3,5}

　　答案：B

　　3.设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，P={1,2,3,4,5}，Q={3，4,5,6,7}，则P∩(∁UQ)等于(

　　)

　　A.{1,2} B.{3,4,5}

　　C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5}

　　答案：A

　　例2 设全集U={x|x是三角形}，A={x |x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，∁U(A∪B).

　　活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A∩B是由集合A， B中公共元素组成的集合，∁U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合.

　　解：根据三角形的分类可知A∩B= ，

　　A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，

　　∁U(A∪B)={x|x是直角三角形}.

　　变式训练

　　1.已知集合A={x|3≤x<8}，求∁RA.

　　解：∁RA={x|x<3，或x≥8}.

　　2.设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，求B∩C，∁AB，∁SA.

　　解：B∩C={x|x是正方形}，∁AB={x|x是邻边不相等的.平行四边形}，∁SA={x|x是梯形}.

　　3.已知全集I=R，集合A={x|x2+ax+12b=0}，B={x|x2-ax+b=0}，满足(∁IA) ∩B={2}，(∁IB)∩A={4}，求实数a，b的值.

　　解：a=87，b=-127.

　　4.设全集U=R，A={x|x≤2+3}，B={3,4,5,6}，则(∁UA)∩B等于(

　　)

　　A.{4}

　　　B.{4,5,6}

　　　C.{2,3,4}

　　　D.{1,2,3,4}

　　解析：∵U=R，A={x|x≤2+3}，∴∁UA={x|x>2+3}.而4,5,6都大于2+3，∴(∁UA)∩B={4,5,6}.

　　答案：B

　　思路2

　　例1 已知全集U=R，A={x|-2≤x≤4}，B={x|-3≤x≤3}，求：

　　(1)∁UA，∁UB;

　　(2)(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B)，由此你发现了什么结论?

　　(3)(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∪B)，由此你发现了什么结论?

　　活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义，借助于数轴求得.

　　解：在数轴上表示集合A，B，如图7所示，

　　图7

　　(1)由图得∁UA={x|x<-2，或x>4}，∁UB={x|x<-3，或x>3}.

　　(2)由图得(∁UA)∪(∁UB)={x|x<-2，或x>4}∪{x|x<-3，或x>3}={x|x<-2，或x>3};∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3}，

　　∴∁U(A∩B)=∁U{x|-2≤x≤3}={x|x<-2，或x>3}.

　　∴得出结论∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁U B).

　　(3)由图得(∁UA)∩(∁UB)={x|x<-2，或x>4}∩{x|x<-3，或x>3}={x|x<-3，或x>4};∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4}，∴∁U(A∪B)=∁U{x|-3≤x≤4}={x|x<-3，或x>4}.∴得出结论∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).

　　变式训练

　　1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}，则(∁UA)∪(∁UB)等于(

　　)

　　A.{1,6}

　　

　　　B.{4,5}

　　C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}

　　答案：D

　　2.设集合I={x||x|<3，x∈Z}，A={1,2}，B={-2，-1，2}，则A∪(∁IB)等于(

　　)

　　A.{1}

　　　 B.{1,2} C.{2}

　　　 D.{0,1,2}

　　答案：D

　　例2 设全集U={x|x≤20，x∈N，x是质数} ，A∩(∁UB)={3,5}，(∁UA)∩B={7,19}，(∁UA)∩(∁UB)={2,17}，求集合A，B.

　　活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素.利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来 解决.

　　解：U={2,3,5,7,11,13,17,19}，

　　由题意借助于Venn图，如图8所示，

　　图8

　　∴A={3,5,11,13}，B={7,11,13,19}.

　　点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.

　　变式训练

　　1.设I为全集，M，N，P都是它的子集，则图9中阴影部分表示的集合是(

　　)

　　图9

　　A.M∩[(∁IN)∩P]

　　B.M∩(N∪P)

　　C.[(∁IM)∩(∁IN)]∩P

　　D.M∩N∪(N∩P)

　　解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C;阴影部分不在集合N内，排除B，D.

　　思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内，即在(∁IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(∁IN)∩P].

　　答案：A

　　2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁UA)∩B={3,7}，(∁UB)∩A={2,8}，(∁UA)∩(∁UB)={1,5,6}，则集合A=________，B=________.

　　解析：借助Venn图，如图10，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B了.

　　图10

　　答案：{2,4,8,9}　{3,4,7,9}

　　知能训练

　　课本本节练习4.

　　【补充练习】

　　1.设全集U=R，A={x|2x+1>0}，试用文字语言表述∁UA的意义.

　　解：A={x|2x+1>0}，即不等式2x+1>0的解集，∁UA中元素均不能使2x+1>0成立，即∁UA中元素应当满足2x+1≤0.∴∁UA即不等式2x+1≤0的解集.

　　2.如图11所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________.

　　图11

　　解析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合S内;二是在集合M，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，即(∁US)∩(M∩P).

　　答案：(∁US)∩(M∩P)

　　3.设集合A，B都是U={1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)={2}，(∁UA)∩B={1}，则A等于(

　　)

　　A.{1,2}

　　　B.{2,3}

　　　C.{3,4}

　　　D.{1,4}

　　解析：如图12所示.

　　图12

　　由于(∁UA)∩(∁UB)={2}，(∁UA)∩B={1}，则有∁UA={1,2}.∴A={3,4}.

　　答案：C

　　4.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则∁U(S∪T)等于(

　　)

　　A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}

　　解析：直接观察(或画出Venn图)，得S∪T={1,3,5,6}，则∁U(S∪T)={2,4,7,8}.

　　答案：B

　　5.已知集合I={1,2,3,4}，A={1}，B={2,4}，则A∪(∁IB)等于(

　　)

　　A.{1} B.{1,3} C.{3} D.{1,2,3}

　　解析：∵∁IB={1,3}，∴A∪(∁IB)={1}∪{1,3}={1,3}.

　　答案：B

　　拓展提升

　　问题：某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有 34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：

　　(1)至少解对其中一题者有多少人?

　　(2)两题均未解对者有多少人?

　　分析：先利用集合表示解对甲、乙两道数学题的各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决.

　　解：设全集为U，A={只解对甲题的学生}，B={只解对乙题的学生}，C={甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C={解对甲题的学生}，B∪C={解对乙题的学生}，

　　A∪B∪C={至少解对一题的学生}，∁U(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.

　　由已知，A∪C有34个人，C有20个人，

　　从而知A有14个人;B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人)，∁U(A∪B∪C)有N2=50-42=8(人).

　　∴至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人.

　　课堂小结

　　本节课学习了：

　　①全集和补集的概念和求法.

　　②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.

　　作业

　　课本习题1.1A组　9,10，B组　4

　　设计感想

　　本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识.

　　备课资料

　　【备选例题】

　　【例1】已知A={y|y=x2-4x+6，x∈R，y∈N}，B={y|y=-x2-2x+7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它.

　　解：y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2，A={y|y≥2，y∈N}，

　　又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8，∴B={y|y≤8，y∈N}.

　　故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.

　　【例2】设S={(x，y)|xy>0}，T={(x，y)|x>0，且y>0}，则(

　　)

　　A.S∪T=S

　　 B.S∪T=T 　C.S∩T=S

　　 D.S∩T=

　　解析：S={(x，y)|xy>0}={(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，则T⊆S，所以S∪T=S.

　　答案：A

　　【例3】某城镇有1 000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户.

　　解析：设这1 000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如图13所示.有彩电无空调的有819-535=284(户);有空调无彩电的有682-535=147(户)，因此二者至少有一种的有284+147+535=966(户).填966.

　　图13

　　答案：966

　　【知识拓展】

　　差集与补集

　　有两个集合A，B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C就叫做A与B的差集，记作A-B(或AB).

　　例如，A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，C=A-B={a，b}.

　　也可以用Venn图表示，如图14所示(阴影部分表示差集).

　　图14

　　图15

　　特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I -B，叫做B在I中的补集，记作B.

　　例如，I={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，B=I-B={4,5}.

　　也可以用Venn图表示，如图15所示(阴影部分表示补集).

　　从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数.

集合的基本运算教学设计一等奖第2篇

　　教学分析

　　课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等.

　　值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算.

　　三维目标

　　1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力.

　　2.通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想.

　　重点难点

　　教学重点：交集与并集、全集与补集的概念.

　　教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系.

　　课时安排

　　2课时

　　教学过程

　　第1课时

　　导入新课

　　思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5+3=8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.

　　思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗?

　　(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

　　(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}.

　　引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容.

　　思路3.(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系?

　　图1

　　②观察集合A，B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

　　学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算.

　　(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.

　　②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　(1)通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么?

　　(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系.

　　(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系.

　　(4)试用Venn图表示A∪B=C.

　　(5)请给出集合的并集定义.

　　(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗?

　　请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系?

　　①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

　　②A={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}.

　　(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达.

　　活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示.

　　讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C，读作A并B.

　　(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.

　　(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

　　(4)如图1所示.

　　(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示.

　　(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

　　(7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.

　　其含义用符号表示为：

　　A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　用Venn图表示，如图2所示.

　　图2

　　应用示例

　　例1 集合A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么?

　　活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.

　　解：因为A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

　　图3

　　点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.

　　变式训练

　　1.设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

　　解：对任意m∈A，则有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.

　　而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

　　2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.

　　解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3};还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.

　　3.设集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

　　解：∵A∩B={9}，则9∈A，a-1=9或a2=9.

　　∴a=10或a=±3.

　　当a=10时，a-5=5 ,1-a=-9;

　　当a=3时，a-1=2不合题意;

　　当a=-3时，a-1=-4不合题意.

　　故a=10.此时A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，满足A∩B={9}.

　　4.设集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

　　A.{x|-3

　　C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

　　解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

　　观察或由数轴得A∩B={x|-3

　　答案：A

　　例2 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

　　活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A，B的关系.集 合A是方程x2+4x=0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示 法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值.

　　解：由题意得A={-4,0}.

　　∵A∩B=B，∴B⊆A.

　　∴B= 或B≠ .

　　当B= 时，即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解，

　　则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　当B≠ 时，若集合B仅含有一个元素，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

　　此时，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合题意.

　　若集合B含有两个元素，则这两个元素是-4,0，

　　即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

　　则有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

　　解得a=1，则a=1符合题意.

　　综上所得，a=1或a≤-1.

　　变式训练

　　1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?

　　解：由题意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用数轴得 解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

　　2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，试求实数m的取值范围.

　　分析：由A∪B=A得B⊆A，则有B= 或B≠ ，因此对集合B分类讨论.

　　解：∵A∪B=A，∴B⊆A.

　　又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .

　　当B= 时，有m+1>2m-1，∴m<2.

　　当B≠ 时，观察图4：

　　图4

　　由数轴可得 解得2≤m≤3.

　　综上所述，实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3，即m≤3.

　　点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.

　　知能训练

　　课本本节练习1,2,3.

　　【补充练习】

　　1.设集合A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，

　　(1)求A∩B，A∪B.

　　(2)用适当的符号(⊇，⊆)填空：

　　A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.

　　解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，

　　则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.

　　又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B={3,4,5,6,7,8}.

　　(2)由Venn图可知

　　A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.

　　2.设A={x|x<5}，B={x|x≥0}，求A∩B.

　　解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5，

　　故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.

　　3.设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B.

　　解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分.

　　所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}= .

　　4.设A={x|x>-2}，B={x|x≥3}，求A∪B.

　　解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B={x|x>-2}.

　　5.设A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.

　　解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B={x|x是平行四边形}.

　　6.已知M={1}，N={1,2}，设A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

　　分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素.

　　解：∵M={1}，N={1,2}，∴A={(1,1)，(1,2)}，B={(1,1)，(2,1)}，故A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}.

　　7.若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有(

　　)

　　A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=

　　解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B=B∩C，

　　∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.

　　思路二：取满足条件的A={1}，B={1,2}，C={1,2,3}，排除B，D，

　　令A={1,2}，B={1,2}，C={1,2}，则此时也满足条件A∪B=B∩C，

集合的基本运算教学设计一等奖第3篇

一、教学目标

（一）知识目标：理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集。感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力。

（二）能力目标：通过对并集、交集定义的学习，培养学生观察、比较、分析、概括的能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程。

（三）情感目标：积极引导学生主动参与学习的过程，培养自主探究与合作交流的意识。

二、重、难点

教学重点：交集与并集，全集与补集的概念.

教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系

三、教学环境：利用多媒体，课件与传统黑板板书结合

四、教学过程

（一）创设情景，引入新课

问题1：我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5+3=8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？

（二）探究新知

观察集合A，B，C元素间的关系：

（1）A={1，3，5}B={2，4，6}C={1，2，3，4，5，6}

（2）A={x|x是有理数}B={x|x是无理数}C={x|x是实数}

你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

【设计意图】这样提问目标比较明确，学生很容易找到重点，理解并集的概念，并总结并集的定义.

（三）并集的定义

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：A并B即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}

思考：怎样理解并集概念中的“或”字？对于A∪B，能否认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？

【设计意图】加深对并集的理解

（四）例题讲解

例1：A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B

注：求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次

例2：设集合A={x|-1

【设计意图】通过两个例题巩固和消化并集的概念.

（五）探究新知

问题3：观察集合A，B，C元素间的关系：

A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={5，8}

【师生互动】教师提问，引导学生讨论找出它们之间的关系

【设计意图】这样提问目标比较明确，学生很容易找到重点，理解交集的概念，并总结交集的定义.

（六）交集的定义

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作：A∩B读作：A交B即：A∩B={x|x∈A，且x∈B}

思考：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？

答：不能.当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B=?.

【设计意图】加深对交集的理解

（七）例题讲解

例3设A={x|-31.5}，求：A∩B，A∪B.

练习：设A={x|0

【师生互动】一讲一练，学生容易消化并集与交集的概念.

【设计意图】巩固掌握并集与交集的概念

（八）全集与补集的定义

（1）全集的定义：一般如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

（2）补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称作集

A相对于全集U的补集，记作?UA

（3）集合表示：?UA={x|x∈U，且x?A}.

（4）Venn图表示：

（九）例题讲解

例4：已知全集U，集合A={1，3，5，7}，?UA={2，4，6}，?UB={1，4，6}，求集合B.

点评：根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图;当集合中元素无限多时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.

练习：已知全集U=R，A={x|x<2}，则?UA等于____________

【师生互动】一讲一练，学生容易消化全集与补集的概念.

【设计意图】巩固掌握全集与补集的概念

（十）课堂总结

（1）补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同.另外全集是一个相对概念

（2）符号?UA存在的前提是A?U，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件是我们解题的一个突破口.

（十一）作业

課本13-14页6，7，9，10