理解集合间的包含相等关系

这是理解集合间的包含相等关系，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

理解集合间的包含相等关系第1篇

1教学目标

1、知识与技能

（1）理解集合之间包含和相等的含义；

（2）能识别给定集合的子集；

（3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系。

2、过程与方法

（1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系；

（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。

3、情感、态度、价值观

（1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。

（2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想。

2学情分析 3重点难点

1、子集、真子集的概念及它们的联系与区别；

2、空集的概念以及与一般集合间的关系.

4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【导入】复习

1．集合的概念、集合三要素

2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3．关于“属于”的概念

活动2【讲授】新课讲授

一、概念的形成

具体实例1：看下面各组中两个集合之间有什么关系

（1）A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}

（2）A={菱形}，B＝{平行四边形}

（3）A={x|x>2}，B={x|x>1}

（学生分组讨论）

学生甲：我发现在第一组的两个集合中1是集合A中的元素，也即1∈A，同时1也是集合B中的元素；同理2，3也是这样，这就是说集合A中的每一个元素都是B中的元素。

学生乙：除了甲说的外，我还看到集合B中的元素4、5就不在A中，也就是说集合B好像比A大。

学生丙：马上提出疑问：难道说集合之间也存在大小关系吗？

带着大家的疑问我们继续来观察（2）、（3）两组中两个集合之间又有什么样的关系呢？

学生丁：在第2组中我们都知道所有的菱形都是平行四边形，但所有的平行四边形并不都是菱形。我不敢说B比A大，但起码B中的元素比A中的多，且集合A中的每一个元素都是B中的元素。

师：大家分析的都很好，能抓住问题的核心，从元素看集合。那么在第3组中出现了两个不等式，我们可以借助于数轴进而看到它们的关系（黑板画数轴表示集合）。

具有这样关系的两个集合如何准确的用数学语言表述呢？

（1）子集的定义：

文字语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。

符号语言：

图形语言：这种图称为Venn图.

练习1、用适当的符号填空：

0{0}，{正方形}{矩形}，三角形{等边三角形}

{梯形}{平行四边形}，{x|-12}，B={x|x1}

(2)、A＝{x|-1生：对于（1）由数轴很容易得到，但B中的所有元素并不都在A中，也就是说至少有一个元素只属于B而不属于A，对于（2）通过对B有求解，也不难发现，，但B中的所有元素也都在A中，也就是说，或者可以说A和B中的元素完全相同。

师：很好，通过对实例1的探讨，大家能客观细致地分析得到两个集合之间的关系了。

（2）相等关系：文字语言：集合A与集合B中元素是一样的，就称A=B

符号语言：如果集合，且，则A=B。

（3）真子集的定义：如果集合，但存在元素x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).

问题3、集合中会不会没有任何元素呢？

具体实例3、考察下列集合.并指出集合中的元素是什么？

（1）A={(x，y)|x+y=2}。

（2）B={x|x2+1=0，x∈R}。

生：通过观察分析后回答，（1）中的元素是一条直线上的点，而（2）中元素x是一个方程的解，但这个方程无解。

师：非常好！

（4）空集的定义：

我们把不含任何元素的集合称为空集，记作。

规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。

练习2:用适当的符号填空

活动3【活动】课堂小结　

（1）知识点：

①子集、真子集、相等关系的概念，空集的概念。

②子集的相关性质。

（2）方法：数形结合（如数轴、Venn图）解决有关集合问题。

活动4【练习】课堂练习

课本第7页练习1，2，3

（1）写出集合{a、b}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

归纳猜想：对于一个含有n个元素的集合，其子集的个数与元素个数之间有什么关系？

活动5【活动】教学反思

1，子集的概念说的不透，例子举得很好，但是关键的地方没有说出来，关键是看公共元素

2，概念之间的从属关系，联系与区别，没有讲透，使得很多同学课后分不清真子集，与子集的关系，突然明白一点，没有笨的学生，只有不会教的老师，不是学生们太笨了，而是老师说的不清楚，不明白，在子集，真子集，相等，这三个概念，从属关系很明显，对立关系也很明显，而老师要做的就是把这点说明白，但是恰恰在两个班我都没有讲明白，所以在明天573班，我一定要讲明白。

2，没用的例子太多了

3，每一个设计都要静心设计，由于照用别人的教案，后果真的很惨，以后坚决不上百度下教案了，太差劲了！

4，马上进入函数，必须的学会几何画板，必须坚持用PPT讲课！！！！节省很多时间，省下很多同学们思考的时间，但是我电脑里面的数学教学软件太不齐全了。

5，一节课40分钟，不要安排的太满了，不要讲的太快了，节奏慢下来，细细品味，比起提高学生的学习兴趣，抓住学生上课时候的注意力，哪个更重要呢？

1.1.2　集合间的基本关系

课时设计 课堂实录

1.1.2　集合间的基本关系

1第一学时 教学活动 活动1【导入】复习

1．集合的概念、集合三要素

2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3．关于“属于”的概念

活动2【讲授】新课讲授

一、概念的形成

具体实例1：看下面各组中两个集合之间有什么关系

（1）A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}

（2）A={菱形}，B＝{平行四边形}

（3）A={x|x>2}，B={x|x>1}

（学生分组讨论）

学生甲：我发现在第一组的两个集合中1是集合A中的元素，也即1∈A，同时1也是集合B中的元素；同理2，3也是这样，这就是说集合A中的每一个元素都是B中的元素。

学生乙：除了甲说的外，我还看到集合B中的元素4、5就不在A中，也就是说集合B好像比A大。

学生丙：马上提出疑问：难道说集合之间也存在大小关系吗？

带着大家的疑问我们继续来观察（2）、（3）两组中两个集合之间又有什么样的关系呢？

学生丁：在第2组中我们都知道所有的菱形都是平行四边形，但所有的平行四边形并不都是菱形。我不敢说B比A大，但起码B中的元素比A中的多，且集合A中的每一个元素都是B中的元素。

师：大家分析的都很好，能抓住问题的核心，从元素看集合。那么在第3组中出现了两个不等式，我们可以借助于数轴进而看到它们的关系（黑板画数轴表示集合）。

具有这样关系的两个集合如何准确的用数学语言表述呢？

（1）子集的定义：

文字语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。

符号语言：

图形语言：这种图称为Venn图.

练习1、用适当的符号填空：

0{0}，{正方形}{矩形}，三角形{等边三角形}

{梯形}{平行四边形}，{x|-12}，B={x|x1}

(2)、A＝{x|-1生：对于（1）由数轴很容易得到，但B中的所有元素并不都在A中，也就是说至少有一个元素只属于B而不属于A，对于（2）通过对B有求解，也不难发现，，但B中的所有元素也都在A中，也就是说，或者可以说A和B中的元素完全相同。

师：很好，通过对实例1的探讨，大家能客观细致地分析得到两个集合之间的关系了。

（2）相等关系：文字语言：集合A与集合B中元素是一样的，就称A=B

符号语言：如果集合，且，则A=B。

（3）真子集的定义：如果集合，但存在元素x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).

问题3、集合中会不会没有任何元素呢？

具体实例3、考察下列集合.并指出集合中的元素是什么？

（1）A={(x，y)|x+y=2}。

（2）B={x|x2+1=0，x∈R}。

生：通过观察分析后回答，（1）中的元素是一条直线上的点，而（2）中元素x是一个方程的解，但这个方程无解。

师：非常好！

（4）空集的定义：

我们把不含任何元素的集合称为空集，记作。

规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。

练习2:用适当的符号填空

活动3【活动】课堂小结　

（1）知识点：

①子集、真子集、相等关系的概念，空集的概念。

②子集的相关性质。

（2）方法：数形结合（如数轴、Venn图）解决有关集合问题。

活动4【练习】课堂练习

课本第7页练习1，2，3

（1）写出集合{a、b}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。

归纳猜想：对于一个含有n个元素的集合，其子集的个数与元素个数之间有什么关系？

活动5【活动】教学反思

1，子集的概念说的不透，例子举得很好，但是关键的地方没有说出来，关键是看公共元素

2，概念之间的从属关系，联系与区别，没有讲透，使得很多同学课后分不清真子集，与子集的关系，突然明白一点，没有笨的学生，只有不会教的老师，不是学生们太笨了，而是老师说的不清楚，不明白，在子集，真子集，相等，这三个概念，从属关系很明显，对立关系也很明显，而老师要做的就是把这点说明白，但是恰恰在两个班我都没有讲明白，所以在明天573班，我一定要讲明白。

2，没用的例子太多了

3，每一个设计都要静心设计，由于照用别人的教案，后果真的很惨，以后坚决不上百度下教案了，太差劲了！

4，马上进入函数，必须的学会几何画板，必须坚持用PPT讲课！！！！节省很多时间，省下很多同学们思考的时间，但是我电脑里面的数学教学软件太不齐全了。

5，一节课40分钟，不要安排的太满了，不要讲的太快了，节奏慢下来，细细品味，比起提高学生的学习兴趣，抓住学生上课时候的注意力，哪个更重要呢？

刘爱祥评论

优点:

集合的基本关系讲述清楚，由浅入深。值得推广。

缺点:

可以进一步提高。

理解集合间的包含相等关系第2篇

1教学目标

1．知识与技能

（1）理解集合的包含和相等的关系.

（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.

（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.

2．过程与方法

（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.

（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.

（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.

3．情感、态度与价值观

应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.

2学情分析

这节是在学生刚进入高中的第二课时，前一节学习了集合的基本概念，已经对集合有了一定的认识和理解，

3重点难点

重点：子集的概念；

难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.

4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【活动】创设情境

　　　提出问题

思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.

学生思考并类比实数间关系，理解集合之间的关系。

师：对两个数a、b，应有a＞b或a = b或a＜b.

而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系.

活动2【讲授】概念形成

分析示例：

示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系

（1）A = {1，2，3}

B = {1，2，3，4，5}

（2）A = {新华中学高（一）6班的全体女生}

B = {新华中学高（一）6 班的全体学生}

（3）C = {x | x是两条边相等的三角形}

D = {x | x是等腰三角形}

1．子集：

一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作

A⊆B ，读作：“A含于B”（或B包含A）

示例2

1.A={x|x是两边相等的三角形}；B={x|x是等腰三角形}.

2.A={x|x2－1=0}；

B={－1，1}.

2．集合相等：

若A

⊆ B ，且B

⊆ ​A ，则A=B.

活动3【活动】概念　深化

1．Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合.

如果 ，则Venn图表示为：

2．真子集

如果集合 ，但存在元素x∈B，且x

⊈ A，称A是B的真子集，记作A

⊆

B (或B

⊆ A).

示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？

（1）A = {(x，y) | x + y =2}.

（2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}.

3．空集

称不含任何元素的集合为空集，记作 .

规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.

活动4【练习】能力　提升

一般结论：

① .

②若 ， ，则 . ​

③A = B

⇔ ，且​.

活动5【活动】自主探究

5. 子集的个数

写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.写集合真子集时除去集合本身外其余子集都是它的真子集.

例 1.写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

解：集合{a，b}的所有子集为ø，{a}，{b}，{a，b}.真子集为 ø ,{a}，{b}.

练习1 写出集合{a，b，c}的所有子集.

解：集合{a，b，c}的所有子集为○，{a}，{b}，{c},{a，b}，

{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.

问：根据上面两例，你能归纳出子集的个数与集合元素个数的关系吗？

含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n-1，非空真子集数为2n-2。解题时可以依据上面的结论检验解答正确与否.

活动6【活动】知识强化

练习：用适当的符号填空：

1)a____{a，b，c}； 2) 0____{x|x2=0}；

3)○ ____{x∈R|x2+1=0}；4){0，1} ____N；

5){0} ____{x|x2=x}； 6){2，1} ____{x|x2-3x+2=0}.

练习2 判断下列两个集合之间的关系：

1，A={1，2，4}，B={x|x是8的约数}；

2，A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；

3，A={x|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N*}.

练习1：用适当的符号填空：

1)a____{a，b，c}； 2) 0____{x|x2=0}；

3)○ ____{x∈R|x2+1=0}；4){0，1} ____N；

5){0} ____{x|x2=x}； 6){2，1} ____{x|x2-3x+2=0}.

练习2 判断下列两个集合之间的关系：

1，A={1，2，4}，B={x|x是8的约数}；

2，A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；

3，A={x|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N*}.

练习3 已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值.

活动7【活动】课堂小结

1、本节课主要学习了哪些基本概念？学习了哪些集合符号？你能理解吗？集合的子集有哪些性质？

（1）基本概念

（2）基本符号

（3）性质

活动8【作业】课后作业

必做题：教材P12 第5题

2、已知M={x|2-x<0},集合N{x|ax=1},若N​ M，求实数a的取值范围。

1.1.2　集合间的基本关系

课时设计 课堂实录

1.1.2　集合间的基本关系

1第一学时 教学活动 活动1【活动】创设情境

　　　提出问题

思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.

学生思考并类比实数间关系，理解集合之间的关系。

师：对两个数a、b，应有a＞b或a = b或a＜b.

而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系.

活动2【讲授】概念形成

分析示例：

示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系

（1）A = {1，2，3}

B = {1，2，3，4，5}

（2）A = {新华中学高（一）6班的全体女生}

B = {新华中学高（一）6 班的全体学生}

（3）C = {x | x是两条边相等的三角形}

D = {x | x是等腰三角形}

1．子集：

一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作

A⊆B ，读作：“A含于B”（或B包含A）

示例2

1.A={x|x是两边相等的三角形}；B={x|x是等腰三角形}.

2.A={x|x2－1=0}；

B={－1，1}.

2．集合相等：

若A

⊆ B ，且B

⊆ ​A ，则A=B.

活动3【活动】概念　深化

1．Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合.

如果 ，则Venn图表示为：

2．真子集

如果集合 ，但存在元素x∈B，且x

⊈ A，称A是B的真子集，记作A

⊆

B (或B

⊆ A).

示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？

（1）A = {(x，y) | x + y =2}.

（2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}.

3．空集

称不含任何元素的集合为空集，记作 .

规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.

活动4【练习】能力　提升

一般结论：

① .

②若 ， ，则 . ​

③A = B

⇔ ，且​.

活动5【活动】自主探究

5. 子集的个数

写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.写集合真子集时除去集合本身外其余子集都是它的真子集.

例 1.写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

解：集合{a，b}的所有子集为ø，{a}，{b}，{a，b}.真子集为 ø ,{a}，{b}.

练习1 写出集合{a，b，c}的所有子集.

解：集合{a，b，c}的所有子集为○，{a}，{b}，{c},{a，b}，

{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.

问：根据上面两例，你能归纳出子集的个数与集合元素个数的关系吗？

含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n-1，非空真子集数为2n-2。解题时可以依据上面的结论检验解答正确与否.

活动6【活动】知识强化

练习：用适当的符号填空：

1)a____{a，b，c}； 2) 0____{x|x2=0}；

3)○ ____{x∈R|x2+1=0}；4){0，1} ____N；

5){0} ____{x|x2=x}； 6){2，1} ____{x|x2-3x+2=0}.

练习2 判断下列两个集合之间的关系：

1，A={1，2，4}，B={x|x是8的约数}；

2，A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；

3，A={x|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N*}.

练习1：用适当的符号填空：

1)a____{a，b，c}； 2) 0____{x|x2=0}；

3)○ ____{x∈R|x2+1=0}；4){0，1} ____N；

5){0} ____{x|x2=x}； 6){2，1} ____{x|x2-3x+2=0}.

练习2 判断下列两个集合之间的关系：

1，A={1，2，4}，B={x|x是8的约数}；

2，A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}；

3，A={x|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N*}.

练习3 已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值.

活动7【活动】课堂小结

1、本节课主要学习了哪些基本概念？学习了哪些集合符号？你能理解吗？集合的子集有哪些性质？

（1）基本概念

（2）基本符号

（3）性质

活动8【作业】课后作业

必做题：教材P12 第5题

2、已知M={x|2-x<0},集合N{x|ax=1},若N​ M，求实数a的取值范围。

理解集合间的包含相等关系第3篇

　　教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系

　　了解空集的含义

　　课 型：新授课

　　教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；

　　（2）理解子集、真子集的概念；

　　（3）能利用Venn图表达集合间的关系；

　　（4）了解与空集的含义。

　　教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。

　　教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；

　　教学过程：

　　一、引入课题

　　1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：

　　（1）0 N；（2） $2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2$2 Q；（3）-1.5 R

　　2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）

　　二、新课教学

　　（一） 集合与集合之间的“包含”关系；

　　A={1，2，3}，B={1，2，3，4}

　　集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

　　如果集合A的.任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

　　记作： $2

　　$2$2

　　读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A

　　当集合A不包含于集合B时，记作A B

　　用Venn图表示两个集合间的“包含”关系

　　B

　　A

　　$2

　　（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；

　　$2，则 $2中的元素是一样的，因此 $2

　　即 $2

　　练习

　　结论：

　　任何一个集合是它本身的子集

　　（三） 真子集的概念

　　若集合 $2，存在元素 $2，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。

　　记作：A $2 B（或B $2$2$2A）

　　读作：A真包含于B（或B真包含A）

　　举例（由学生举例，共同辨析）

　　（四） 空集的概念

　　（实例引入空集概念）

　　不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作： $2

　　规定：

　　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

　　（五） 结论：

　　1 $2 2 $2，且 $2，则 $2

　　（六） 例题

　　（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

　　（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x $25}，并表示A、B的关系；

　　（七） 课堂练习

　　（八） 归纳小结，强化思想

　　两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；

　　（九） 作业布置

　　1、书面作业：习题1.1 第5题

　　2、提高作业：

　　1 已知集合 $2， $2≥ $2，且满足 $2，求实数 $2的取值范围。

　　2 设集合 $2，

　　$2，试用Venn图表示它们之间的关系。

　　板书设计（略）