空间向量公式

这是空间向量公式，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

空间向量公式第 1 篇

一、知识网络：

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量

叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

a 注意：当我们说、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当

a我们说、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数?使b＝?a （1）对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0时与a同向，

当?<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取AB?a，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ② 当t?

12

时，点P是线段AB的中点，则 OP

12

(OA?OB). ③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平面内，我们就???

说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数

对x、y，使p?xa?yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使 MP?xMA?yMB,④

或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的

有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

a说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}?p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R?，

叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一

个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含

着它们都不是0。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA

叫做向量a与b的夹角，记作?a，b?

a

，OB

b

，则角∠AOB

说明：⑴规定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；

⑵如果?a，b?=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

2

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB=?OA,OB?，

（1）

B

重合，注意图

图（2）中∠AOB=???AO,OB?,

从而有??OA,OB?=?OA,?OB?=???OA,OB?.

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：abcos?a,b?叫做向量a、b的数量积，记作a?b。

即a?b=abcos?a,b?，

向量AB在e方向上的正射影

:

a?e?|AB|cos?a,e??A?B?

（4）性质与运算率

⑴a?e?cos?a,e?。⑴(?a)?b??(a?b)

⑵a⊥b?a?b⑵a?b=b?a

⑶|a|?a?a.⑶a?(b?c)?a?b?a?c

（三）．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共

线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；????????

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a?b,a?b,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是

2

（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算

空间向量公式第 2 篇

学习目标

　　1. 掌握斜二测画法及其步骤;

　　2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图.

　　学习过程

　　一、课前准备

　　(预习教材P16~ P19，找出疑惑之处)

　　复习1：中心投影的投影线_________;平行投影的投影线_______.平行投影又分___投影和____投影.

　　复习2：物体在正投影下的三视图是_____、______、

　　_____;画三视图的要点是_____ 、_____ 、______.

　　引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗?

　　二、新课导学

　　※ 探索新知

　　探究1：水平放置的平面图形的直观图画法

　　问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?

　　新知1：上面的直观图就是用斜二测画法画出来的，斜二测画法的规则及步骤如下：

　　(1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 轴和 轴，建立直角坐标系，两轴相交于 .画直观图时,把它们画成对应的 轴与 轴，两轴相交于点 ，且使 (或 ).它们确定的平面表示水平面;

　　(2) 已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段;

　　(3)已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的.线段，长度为原来的一半;

　　(4) 图画好后，要擦去 轴、 轴及为画图添加的辅助线(虚线).

　　※ 典型例题

　　例1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.

　　讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形?它的直观图如何画?

　　结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭圆模板来画.

　　探究2：空间几何体的直观图画法

　　问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个高，你知道画图时该怎么处理吗?

　　例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.

　　新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴： 轴， 轴， 轴;它们相交于点 ，且 ， 空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于 轴的线段保持长度不变，平行于 轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的高，即平行于 轴的线段，保持长度不变.

　　※ 动手试试

　　练1. 用斜二测画法画底面半径为4 ,高为3 的圆柱.

　　例3 如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.

　　练2. 由三视图画出物体的直观图.

　　正视图 侧视图 俯视图

　　小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样构成的;然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出来.

　　三、总结提升

　　※ 学习小结

　　1. 斜二测画法要点①建坐标系，定水平面;②与坐标轴平行的线段保持平行;③水平线段( 轴)等长,竖直线段( 轴)减半;④若是空间几何体,与 轴平行的线段长度也不变.

　　2. 简单组合体直观图的画法;由三视图画直观图.

　　※ 知识拓展

　　1. 立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆.正等测画法画圆的步骤为：

　　(1)在已知图形⊙ 中，互相垂直的 轴和 轴画直观图时，把它们画成对应的 轴与 轴，且使 (或 );

　　(2)已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段;

　　(3)平行于 轴或 轴的线段，长度均保持不变.

　　2. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸),直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.

　　学习评价

　　※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

　　A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

　　※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

　　1. 一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为( ).

　　A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、2

　　2. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是( ).

　　A.①② B.① C.③④ D.①②③④

　　3. 一个三角形的直观图是腰长为 的等腰直角三角形，则它的原面积是( ).

　　A. 8 B. 16 C. D.32

　　4. 下图是一个几何体的三视图

　　请画出它的图形为_____________________.

　　5. 等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB= ， 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图 的面积为________.

　　课后作业

　　1. 一个正三角形的面积是 ，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面积.

　　2. 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.

　　【总结】2013年数学网为小编在此为您收集了此文章高一数学教案：空间几何体的直观图，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在数学网学习愉快!

空间向量公式第 3 篇

活动目标：

　　1、 引导幼儿学会辨别物体的空间位置，并能正确数出7以内的数量。

　　2、 培养幼儿辨别空间方位的能力。

　　3、体验数学活动带来的乐趣。

　　活动准备：

　　幼儿操作材料（1、2）、范画（1、2）、7以内数量的图片，录音机、录音带《火车开来了》、课前教会幼儿唱《小猫歌》和会玩躲小猫的`游戏。

　　活动过程：

　　一、 游戏导入：

　　1、 听音乐入室：《火车开来了》引起幼儿的兴趣。

　　2、 ——“小朋友，看这里有很多椅子，我们找个位置坐下来。”

　　3、 游戏：躲小猫“等一下老师和你们玩“躲小猫”的游戏，老师来做猫妈 妈去抓小猫，你们做小猫去躲。猫妈 妈找不到你们的话，等一下你们要告诉猫妈 妈“你刚刚躲在哪里的什么地方？”

　　二、 辨别空间方位：

　　1、提问：“有哪只小猫告诉我，你刚刚躲在哪里的什么地方？”

　　2、出示范画（1）：

　　（1）、“谁来告诉我，你在图片上看到什么，？有多少？”

　　（2）、出示蝴蝶和蜗牛图片：“谁也来了，它在哪里呢？有多少？”

　　3、出示范画（2）：“它是谁啊？”

　　今天喜洋洋也来和我们一起做游戏。

　　三、游戏：拼一拼1、我这里有一些数字宝宝，等一下我会把数字宝宝放在喜洋洋头不同的方位，让你们根据所给的来拼。如：教师在喜洋洋头的上面放数字宝宝2，我就在操作材料中找出与数2相同数量的拼在喜洋洋头的上面。

　　2、幼儿拼一拼：

　　3、请个别幼儿来说说成品，教师小结。

　　四、写一写

　　1、出示范例：“今天老师出了一些题来考考小朋友，看看你们今天学的空间方位懂了多少。”

　　2、教师示范。

　　3、 幼儿做题：

　　五、活动结束：火车开来了小朋友今天我们都学到了很多本领，我们一起去当小老师教一教弟弟妹妹吧。

　　活动反思：

　　孩子们对活动很感兴趣，他们还很投入到活动中。他们都能积极举手发言，还能用完整的话来回答。不过幼儿对辨别空间方位上还不大了解还得继续培养和巩固。活动开展的时间有点长。以后我会吸取更多的教学方法争取上的更好。

空间向量公式第 4 篇

　引用：

　　空间智能不是幻想，而是一种能力，是人的思维的一部分。幼儿的空间智能具有以下特点：

　　1、图像思维，可清楚地说出视觉表象。

　　2、能轻松看地图及其他图表。

　　3、喜欢画画、泥工等艺术。

　　4、喜欢拼图、下棋、走迷宫及类似的游戏。

　　5、喜欢想象，并创造出内心的表象。

　　6、喜欢看幻灯、电影或其他视觉上的表演。

　　7、有好的色彩感觉，经常用图像来记忆。

　　活动准备：

　　磁性教具，幼儿用书，红色圆卡10个。

　　活动过程：

　　1、 教师让幼儿自己选择把同一种东西放在一个小格子里，直到把4种东西放完。

　　2、 引导幼儿讨论，每个格子里各有几个东西。

　　3、 教师与幼儿一起对比讨论，两个方格里，相同位置东西的数是否一样。

　　4、 请幼儿翻开儿童用书27页，说说本页的内容，有什么图形?这些图形都是什么样的?

　　5、 引导幼儿用手指着书中的图，第一个中有几个皮球?是什么颜色?第二格中有几个皮球?是什么颜色?

　　6、 请幼儿在桌子上，用圈圈板摆摆看，下面的第一格与上面的第一格里，对应一样的是什么颜色，有几个。

　　活动目标效果：

　　1、 培养幼儿的对应能力。

　　2、 培养幼儿的计数能力。

　　3、 发展幼儿的空间感知能力。