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直线的方程教案

日期:2022-02-16

这是直线的方程教案,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。

直线的方程教案

直线的方程教案第 1 篇

一、教学目标

【知识与技能】

1.学生掌握圆的一般方程的特点;

2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心的坐标和半径;

3.能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程。

【过程与方法】

通过分析、归纳等数学活动,发现圆的一般方程的特点,同时渗透数形结合的思想。

【情感态度与价值观】

在主动参与数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,并乐于与人交流。

二、教学重难点

【重点】

能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程。

【难点】

圆的一般方程的特点。

三、教学过程

(一)导入新课:复习导入

(四)小结作业

小结:通过这节课的学习,你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?

作业:课后练习题

四、板书设计

直线的方程教案第 2 篇

共1课时

4.1.2 圆的一般方程 高中数学 人教A版2003课标版

1教学目标:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 2学情分析

圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程的一般方法的基础上,在学习过圆的标准方程之后进行研究的,是研究二次曲线的开始。这里主要是用解析法研究它的方程与其它图形的位置和应用,但由于学生学习解析几何的时间不长,对坐标法的运用还不够熟练,学生在探究问题的能力方面比较薄弱。

3重点难点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用

   4教学过程 4.1第一学时:圆的一般方程 教学活动 活动1【讲授】圆的一般方程

活动2【讲授】圆的一般方程

(一)、课题引入

问题:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程。

分析:利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

(二)、探索研究:请同学们写出圆的标准方程,再将标准方程展开并整理得:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

若给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?

(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.②没有xy这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.

(3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

(三)、知识应用与解题研究

例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。

学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。

例2:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程

学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:①根据提议,选择标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;③解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。

(四)、课堂练习:1、2、3

(五)、小结 :1.对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0的讨论(什么时候可以表示圆) 2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程

4.求与圆有关的点的轨迹。

(六)、课后作业:习题4.1第2、3、6题

五、教后反思:

4.1.2 圆的一般方程

课时设计 课堂实录

4.1.2 圆的一般方程

1第一学时:圆的一般方程 教学活动 活动1【讲授】圆的一般方程

活动2【讲授】圆的一般方程

(一)、课题引入

问题:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程。

分析:利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

(二)、探索研究:请同学们写出圆的标准方程,再将标准方程展开并整理得:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

若给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?

(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.②没有xy这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.

(3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

(三)、知识应用与解题研究

例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。

学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。

例2:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程

学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:①根据提议,选择标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;③解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。

(四)、课堂练习:1、2、3

(五)、小结 :1.对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0的讨论(什么时候可以表示圆) 2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程

4.求与圆有关的点的轨迹。

(六)、课后作业:习题4.1第2、3、6题

五、教后反思:

直线的方程教案第 3 篇

一、教材分析

教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程,然后分析方程特点,即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆,判断的标准是圆的标准方程,这样做紧扣圆的几何特征,最后得出二元二次方程表示圆的充要条件,使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆,认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中分类思想,对比记忆等思想有更深的了解和掌握。

教材配备了两个例题,例3利用圆的标准方程求同心圆方程:例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程,这是数学中常用的一种方法。

二、学情分析

学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程,并能初步利用圆的标准方程的特点研究圆的一般方程,学生在利用圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0解决问题时,常忽略表示圆的条件D2?E2?4F?0,灵活使用圆的方程的两种形式解决问题是学生学习的难点。

三、本节渗透的数学思想及教学方法分析

根据以上教材分析,贯彻以启发性教学原则,教师引导,学生学习为主体的教学思想,分析与讨论结合。

1、经历用待定系数法求圆的方程的过程,它是数学中常用的一种方法,在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。

2、圆的一般方程含有三个参变量,需要三个条件(坐标)才能确定圆,树立利用方程的思想求解参数变量。

3、引导学生分析两个方程之间的互化关系,选择两个方程解决问题的条件和优缺点。

4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。

四.教学目标

知识与技能:

1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点

2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程,进而求出圆心和半径

3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程

过程与方法:

1).通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想。

2).通过分析,充分了解分类思想在数学中的重要地位,强化学生的观察,思考能力。

情感态度与价值观:

培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识,在体现数学美的过程中激发学生的学习兴趣,从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。

五.教学重、难点

教学重点:

1.圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0的形式特征。

2.待定系数法求圆的方程。

教学难点:

1. 方程x2?y2?Dx?Ey?F?0及对D2?E2?4F分类讨论。

2.根据具体条件,选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。

难点突破:

通过对D2?E2?4F的分类讨论,使问题化难为易,难点个个攻破,使课堂教学显得轻松易学。

六.学法分析

在教学活动中,教师提出疑问,引导学生主动思考,主动探究,讨论交流,在积极的学习中解决问题,获得知识。贯穿“疑问”—“思索”—“发现”—“解惑”四个学习环节。

七.教学过程设计

(一)创设情境,引发思考,引入新知

问题1:A.B两镇相距10km,为了响应党的号召,丰富人民的文化生活,现在两镇之间修建一个文化广场,为方便大部分群众,现要求广场到两镇之间距离的平方和为60,那么广场应修建在何处?

分析:仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离,若将这个问题放在直角坐标系中来考虑,就能很快表示出距离,以AB两镇所在的直线为x轴,以AB的中点为坐标原点建立直角坐标系,则A(?5,0),B(5,0),设P(x,y)为广场所在的位置,则有

化简得x2?y2?5。你能说明这是一个什么方程吗?(x?5)2?y2?(x?5)2?y2?60,

广场应建在什么位置?

设计意图:以生活中的实例提出问题,激发学生的学习兴趣,并借此复习学生已经掌握的圆的标准方程,并为圆方程改写成二元二次方程的形式引出圆的一般方程做铺垫。

问题2:圆的标准方程(x-a)2?(y-b)2?r2的展开式是什么?:

x2?y2-2ax-2by?a2?b2-r2?0

由于a,b,r均为常数,故设 D=-2a, E =-2b , F = a2+b2-r2 此方程可写成下面的形式:

x2?y2?Dx?Ey?F?0 ① 故任何一个圆的方程都可以用上式表示。

思考:形如①的方程表示的曲线一定是圆吗?

设计意图:在问题1的基础上由圆的标准方程展开问题引发概念,给学生思考、探索的空间,让学生体验数学发现和创造的历程,提高分析和解决问题的能力。

(二)深入思考,得出结论

如果形如①的方程表示的曲线是圆,那么由方程可求出圆心和半径。下面我们配D2E2D2?E2?4F方整理可得:(x?)?(y?)? ② 224

D2E2D2?E2?4F比较圆的标准方程 (x-a)+(y-b)=r与(x?)?(y?)?的形式 224222上式表不表示圆,关键跟D2?E2?4F的正负有关。

1)当D2?E2?4F?0时,表示以(?

径的圆。

2)当D2?E2?4F=0时,方程只有实数解 x??

(?DE,?)。 22DE,?)为圆心,

以R?为半22DE, y??即表示一个点22

3)当D2?E2?4F?0时,方程没有实数解,因而不表示任何图形。

综上所述,方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆,只有当D2?E2?4F?0时,它表示的曲线才是圆,此时x2?y2?Dx?Ey?F?0叫圆的一般方程。表示以(?

DE,?

)为圆心,R?为半径的圆。 22设计意图:通过本过程,学生实现了对圆的方程更深的理解,实现了对圆的一般方程的理解。引导学生理解圆的一般方程的意义,真正知道什么情况下表示圆,并理解为什么。

(三)两相对比,加深理解

标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2明确指出了圆心和半径。

一般方程:x2?y2?Dx?Ey?F?0突出了形式上的特点

1.x2和y2的系数相同,且不等于0。

2.没有xy这样的二次项。

3. D2?E2?4F?0

设计意图:通过比较,不仅复习了以前的知识,增强了记忆。对今天的新课也有了更深层次的理解。

(四)知识运用,巩固概念

例1.判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。

(1)x2+y2-2x+4y+1=0

(2)x2+y2+2by=0 (b≠0)

例2.求过点M(?1,1),且圆心与已知圆x2?y2?4x?6y?3?0相同的圆的方程。 方法一:利用配方法将其变成圆的标准形式,求出圆心后再求半径。

方法二:利用圆的一般方程方程形式求解,由于所求圆与已知圆是同心圆,故可设所求圆的方程为:x2?y2?4x?6y?F?0,然后将M点代入,利用待定系数法求F。

设计意图:本题较简单,学生独立求解,然后教师点评。设计目的是让学生应用新知,巩固知识,强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程

x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圆的条件。同时也增强学生自信,提高兴趣。

例3.求过三点O (0,0),M1(1,1), M2(4,2), 的圆的方程,并指出圆心和半径。

设计意图:让学生通过自主解答,发现困难,教师适时引导,总结出用待定系数法求圆的一般方程的'步骤。通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。

注:用待定系数法求圆的方程的步骤:

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式;(圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较,(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

(2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解)

(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程;

(3)解方程组,求出a、b、r或D、E、F的值,代入所设方程,就得要求的方程。

(五)反馈练习,强化概念

教材80页,练习1、(2)(4)2.

(六)课堂小节,形成体系

从知识与方法两个方面进行归纳。(学生先归纳总结,教师补充强调)

1.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为x2?y2?Dx?Ey?F?0,其特点是:

(1)x2和y2的系数相同,且不等于0。

(2)没有xy这样的二次项

(3)D2?E2?4F?0 表示以(?DE,?

)为圆心,R?为半径的圆。 222.圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较

(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

(2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.

3.本节课用的数学思想方法:

(1)通过特殊认识一般的思想方法。

(2)配方法(求圆心和半径).待定系数法(求圆的一般方程)

(3)问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏)

六.作业布置:

教材85页A组1、2

七.板书设计:

八、课后练习、巩固新知

一 基础题

1.圆x2?y2?4x?6y?3?0的圆心坐标和半径分别为

2.若方程x2?y2?2x?4my?5m?0表示的图形是圆,则m的取值范围是.

3.若圆x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F?0)的圆心在直线x?y?0上,则D、E、F的关系有.

4.已知圆x2?y2?4x?4?0的圆心是P,O是坐标原点,则|PO|?.

5.过点M(?1,??1)且与已知圆C:x2?y2?2x?4y?3?0的圆心相同的圆的方程是 。

6.若圆x2?y2?2x?2by?b2?0上的点关于直线x?y?0对称,则b?

??0),M(1,??1),N(4,??2)的圆的方程是. 7.过三O(0,

二 提高题

??5),B(5,???2)的圆的方程. ??5),C(6,8.求过三点A(?1,

9.求圆x2?y2?2x?2y?1?0关于直线x?y?3?0对称的圆的方程.

三 能力题

??0),A(3,10.已知点M(x,y)与两个顶点O(0,??0)的距离之比为1,那么点M的坐标2

满足什么关系?画出满足条件的点M所形成的曲线.

九、教学后记

本节课采用“问题探讨教学”和“自主探究式教学”相结合,志在体现学生学习的主体地位,教学中突出数学思想方法的渗透,引导学生运用了“通过特殊认识一般”的思想方法探究新知,利用“待定系数法”与“配方法”进行圆的一般方程与标准方程的转化,借助“数形结合”的思想分析问题,解决问题。教学最后让学生从知识与方法两个方面进行归纳小结,培养学生及时梳理,系统总结,巩固所学新知的好习惯,课后练习的完成使学生进一步巩固新知,加强了对本节知识的进一步认识与运用。

另外,学生在学习本节知识时,在对方程x2?y2?Dx?Ey?F?0及对D2?E2?4F分类讨论及利用“配方法”确定圆的标准方程上存在困难,在今后教学中应加强使学生训练与提高。

直线的方程教案第 4 篇

  一.复习引入

  提问:

  以A(a,b)为圆心,半径为r的圆的标准方程是什么?

  讨论并归纳回答。

  复习巩固加强记忆。

  二.新课讲授

  1.思考:

  我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?

  2.教师提问:

  (1).是不是任何一个形如 的方程表示的曲线都是圆?

  (2).如果不是那么在什么条件下表示圆?(提示:与圆的标准方程进行比较。)

  综上所述,方程

  表示的曲线不一定是圆,只有当 时,它表示的曲线才是圆, 我们把方程 ( )称为圆的一般方程

  与一般的二元二次方程 比较

  我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳)

  学生根据已有的知识,经过配方,把方程化成标准形式,然后加以判断。

  1.

  2.

  (让学生相互讨论后,由学生总结)

  配方得

  总结

  当 时,此方程表示以(- ,- )为圆 心, 为半径的圆;

  当 时,此方程只有实数解 , ,即只表示一个点(- ,- );

  当 时,此方程没有实数解,因而它不表示任何图形

  ①x2和y2的系数相同,不等于0.

  ②没有xy这样的二次项

  使新知识建立在学生已有的知识上

  设置问题:提出疑问,诱导学生主动思考,主动探究,合作交流使学生在积极的学习中解决问题,提高学生的教学思维能力,实现素质教育的目标,同时也培养了学生的情感、态度与价值观。

  提高学生分析问题和解决问题的能力。

  圆的标准方程

  圆的一般方程

  方程

  圆心

  半径

  r

  优点

  几何特征明显

  突出方程形式上的特点

  问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

  采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想的认识。

  练习1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.

  三.例题讲解:

  例1:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。

  分析:已知曲线类型,应采用待定系数法

  使用待定系数法的圆的方程的一般步骤:

  1.根据题意,选择标准方程或一般方程;

  2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;

  3.解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。

  例2.已知线段 的端点 的坐标是 ,端点 在圆 上运动,求线段 中点 的坐标 中 满足的关系?并说明该关系表示什么曲线?

  练习2.求圆心在直线 上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程

  课堂小结

  (1)任何一个圆的方程都可以写成 的形式,但是方程 的曲线不一定是圆;当 时,方程 称为圆的一般方程。

  (2)圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.

  (3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.

  想一想:可否先求圆心和半径,再得出圆的方程?

  (提示学生结合图形,圆的弦的中垂线的交点为圆心 ,圆心到圆上一点的距离为半径)

  加强待定系数法的应用

  培养学生数形结合思想,进一步加强学生用代数方法研究几何问题的能力,体现了本节的知识与技能目标。

  练习:P123:1、2、3

  生:练习

  4.1.2 圆的一般方程

  课时设计 课堂实录

  4.1.2 圆的一般方程

  1第一学时 教学活动 活动1【活动】活动

  四.教学过程

  教学环节

  教师活动

  学生活动

  设计意图

  复习圆的定义及圆的标准方程特征

  创设问题

  设疑

  类比

  教师引导

  总结

  一.复习引入

  提问:

  以A(a,b)为圆心,半径为r的圆的标准方程是什么?

  讨论并归纳回答。

  复习巩固加强记忆。

  二.新课讲授

  1.思考:

  我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?

  2.教师提问:

  (1).是不是任何一个形如 的方程表示的曲线都是圆?

  (2).如果不是那么在什么条件下表示圆?(提示:与圆的标准方程进行比较。)

  综上所述,方程

  表示的曲线不一定是圆,只有当 时,它表示的曲线才是圆, 我们把方程 ( )称为圆的一般方程

  与一般的二元二次方程 比较

  我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳)

  学生根据已有的知识,经过配方,把方程化成标准形式,然后加以判断。

  1.

  2.

  (让学生相互讨论后,由学生总结)

  总结

  当 时,此方程表示以(- ,- )为圆 心, 为半径的圆;

  当 时,此方程只有实数解 , ,即只表示一个点(- ,- );

  当 时,此方程没有实数解,因而它不表示任何图形

  ①x2和y2的系数相同,不等于0.

  ②没有xy这样的二次项

  使新知识建立在学生已有的知识上

  设置问题:提出疑问,诱导学生主动思考,主动探究,合作交流使学生在积极的学习中解决问题,提高学生的教学思维能力,实现素质教育的目标,同时也培养了学生的情感、态度与价值观。

  提高学生分析问题和解决问题的能力。

  圆的标准方程

  圆的一般方程

  方程

  圆心

  半径

  r

  优点

  几何特征明显

  突出方程形式上的特点

  问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

  采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想的认识。

  练习1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.

  三.例题讲解:

  例1:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。

  分析:已知曲线类型,应采用待定系数法

  使用待定系数法的圆的方程的一般步骤:

  1.根据题意,选择标准方程或一般方程;

  2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;

  3.解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。

  例2.已知线段 的端点 的坐标是 ,端点 在圆 上运动,求线段 中点 的坐标 中 满足的关系?并说明该关系表示什么曲线?

  练习2.求圆心在直线 上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程

  课堂小结

  (1)任何一个圆的方程都可以写成 的形式,但是方程 的曲线不一定是圆;当 时,方程 称为圆的一般方程。

  (2)圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.

  (3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.

  想一想:可否先求圆心和半径,再得出圆的方程?

  (提示学生结合图形,圆的弦的中垂线的交点为圆心 ,圆心到圆上一点的距离为半径)

  加强待定系数法的应用

  培养学生数形结合思想,进一步加强学生用代数方法研究几何问题的能力,体现了本节的知识与技能目标。

  练习:P123:1、2、3

  生:练习

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