点与圆的位置关系教材分析

这是点与圆的位置关系教材分析，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

点与圆的位置关系教材分析第 1 篇

课时设计 课堂实录

　点和圆、直线和圆的位置关系

1第一学时 教学活动 活动1【讲授】直线和圆

课堂引入：

前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系，这课我们复习用圆的方程来解决直线与圆的位置关系。请先做以下练习（教师巡堂以便了解课下预习情况）

(1)、判断直线4x-3y=5与圆x +y =25的位置关系

(2)、求圆x +y =25的过点P(3,4)的切线方程.

(3)、求圆x +y =25的过点P(5,4)的切线方程.

(4)、求圆x +y =25被直线4x-3y-20=0所截得的弦长。

（这一部分在引入正课后直接用多媒体投影给出，并由学生快速运算，然后提问结果）

二、 知识梳理:

提出问题:直线与圆有几种位置关系,用什么方法来判断?

1 .直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0，直线和圆相交.

②Δ=0，直线和圆相切.

③Δ＜0，直线和圆相离.

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①d＜R，直线和圆相交.

②d=R，直线和圆相切.

③d＞R，直线和圆相离.

2. 直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.先判断点与圆的位置关系，再用切线的性质求方程。

1）若点p（x ，y ）在圆上，则圆x +y =r ：的切线方程为xx +y y = r ,圆(x-a) +(y-b) =r 的切线方程为（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r

2）若点p（x0，y0）在圆外：利用圆心到直线的距离等于半径将切线的斜率求出来，再写出切线的方程（斜率不存在的切线方程不要遗漏）.

3. 直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

(师生一起归纳,并由教师板书)

三、例题解析:

例1.(1).设m>0，则直线 （x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m(m＞0)的位置关系为

A.相切 B.相交

C.相切或相离 D.相交或相切

解析：圆心到直线的距离为d= ，圆半径为 .

∵d－r= － = （m－2 +1）= （ －1）2≥0，

∴直线与圆的位置关系是相切或相离.

答案：C

(2).圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于

A. B. C.1 D.5

解析：圆心到直线的距离为 ，半径为 ，弦长为2 = .

答案：A

(进一步说明圆心到直线的距离在直线与圆的关系问题中的重要地位)

例2.已知圆满足截①.y轴所得的弦长为2;②被x轴分两段弧,其弧长之比为此3:1;③圆心到直线:x-2y=0的距离为 .求该圆的方程.

解:设圆的方程为: （x－a）2＋（y－b）2＝r 则由条件①得 =r (1)

又由②得a +1=r (2)

又由③得 (3)

联立(1((2)(3),解方程组得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=

所求圆的方程为: （x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2

(这是早几年的一道高考题,在高考复习中经常作为典型例题来用,我的学生对第(2)问的把握可能会有困难,因此,这一问要结合图形来分析解决.由于学生对解含有绝对值的方程组有畏难情绪,因此,教师板书解题的整个过程,并且鼓励学生面对这类问题时积极应对,常规方法入手,运算要快而准确)

例3 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得

(先由学生思考,提出他们的解答方案,再由老师补充:由含有一个参数的直线方程入手思考)

（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0， x=3，

x+y－4=0， y=1，

即l恒过定点A（3，1）.

∵圆心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半径），

∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－ ，

∴l的方程为2x－y－5=0.

思悟小结

1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.

2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化

【例4】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.

解：将圆的方程配方得（x+ ）2+（y+1）2= ，圆心C的坐标为（－ ，－1），半径r= ，

条件是4－3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即

＞ .

化简得a2+a+9＞0.

由

4－3a2＞0，

a2+a+9＞0，

解之得

－ ＜a＜ ，

a∈R.

∴－ ＜a＜ .

故a的取值范围是（－ ， ）

(确定参数的解析几何问题是学生最薄弱的环节,此题的选择一方面是巩固本节课的内容,另一方面也是对直线与圆锥曲线问题中难点的一个分散处理)

四﹑课堂小练

1.若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是( )

A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］

解析：数形结合法解.

答案：A

2.（2003年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是锐角三角形 B.是直角三角形

C.是钝角三角形 D.不存在

解析：由题意得 =1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形.

答案：B

3.（2005年春季北京，11）若圆x2+y2+mx－ =0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为____________.

解析：圆方程配方得（x+ ）2+y2= ，圆心为（－ ，0）.

由条件知－ <0，即m>0.

又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）= ，即m2=3，∴m= .

答案：

4.（2004年福建，13）直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.

解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.

知圆心为（3，1），r=5.

由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d= = .

可得 弦长为2 ，弦长为4 .

答案：4

5.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.

解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.

设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－ ，k2＝－ ．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

6.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?

分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.

解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d= .

∵P（x0，y0）在圆内，∴

则有d>r，故直线和圆相离.

(课堂练习由多媒体投影给出,学生练完后,打出正确答案和解答过程)

五﹑课堂小结

1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.

2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.

3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.

六课后作业

8.（文）求经过点A（－2，－4），且与直线l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圆的方程.

9.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为 ，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.

10.若直线y=x+k与曲线x= 恰有一个公共点,求k的取值范围

直线与圆的位置关系 二.例题解析一.知识梳理: 例1 例4 1. 直线和圆位置关系: 例2

圆(x-a) +(y-b) =r ,直线:Ax+By+C=0

方法一:

方法二:d=| |

①d＜R，直线和圆相交. 例3 ②d=R，直线和圆相切.

③d＞R，直线和圆相离. 2. 直线和圆相切

3. 直线和圆相交小结: 二. 方法小结

七﹑板书设计

教学设计说明

1. 教材分析:这一章是解析几何的基础部分,其内容及方法在各类试题中均要涉及,是必须要牢牢掌握的.试题可能以各种形式出现.多以选择题形式出现,有时也有解答题.即考查基础知识的应用能力又考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.利用方程解决直线和圆的位置关系问题是解析几何的重点,也是直线与圆锥曲线关系的前奏,学好这一部分知识为后面的复习奠定基础扫清障碍.作为复习课,是要在学生原有的基础上,通过对直线与圆位置知识的系统化,使学生对基础知识基本技能的掌握提高一步.所以知识点归纳是本节课的一个重要环节.

2. 我所任教的班级是政治普通班,班里基本没有数学尖子生,班级平均分在多次模拟考试中以70到80分居多,相当一部分学生数学基础薄弱,缺乏对数学学习的信心和科学的学习方法.概括﹑转化﹑分析﹑归纳等方面的能力比较欠缺,但是值得一提的学习优势是笔记认真,习惯记忆,针对这种特点,我在课前让学生阅读教材, 自己归纳知识点,一方面加快上课节奏上课,另一方面通过比较使他们对知识的掌握更加系统.文科学生的抽象思维能力较为欠缺,运算速度较慢, 处理运算的方法也较为死板,课堂上也应该注重这方面的教学,并且要常抓不懈.因此,课堂上安排了例题的板书过程.另外,在选择例题时多以中档题为主,练习则注重基础知识的巩固提高以及题型的变化.

3. 课堂教学过程中注意引导学生积极思维,鼓励学生动手运算,多肯定,多补充少批判,培养学数学的信心.

4. 为了扩大课容量,本节课尝试使用多媒体,帮助学生理解掌握,提高效率.

点与圆的位置关系教材分析第 2 篇

一、教学目标

知识与技能 理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系,探求过点画圆的过程,掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法.

过程与方法 通过生活中实际例子,探求点和圆的三种位置关系,并提炼出相关的数学知识,从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想.

情感、态度与价值观 通过本节知识的学习,体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连,感知数学就在身边,从而更加热爱生活,激发学生学习数学的兴趣.

二、教学重点难点

重点:（1）点和圆的三种位置关系,（2）过三点的圆.

难点:点和圆的三种位置关系及数量关系.

三、教学过程

（一）创设情境 导入新课

活动一:观察

我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得荣誉,图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆（圆心相同,半径不相同）构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

提示:解决这个问题要研究点和圆的位置关系．

活动二:问题探究

问题１:观察图中点a,点b,点c与圆的位置关系？

点a在圆内,点b在圆上,点c在圆外

问题２:设⊙o半径为r,说出来点a,点b,点c与圆心o的距离与半径的关系:oa < r,ob = r,oc > r

问题3:反过来,已知点到圆心的距离和圆的半径,能否判断点和圆的位置关系？

设⊙o的半径为r,点p到圆心的距离op = d,则有:

点p在圆内

d

点p在圆上

d=r

点p在圆外

d>r

例题讲解 如图所示,已知矩形abcd的边ab=3cm,ad=4cm.

(1)以点a为圆心,4cm为半径作⊙a,则点b、c、d与⊙a的位置关系如何？

（二）合作交流 解读探究

活动三

你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？

射击靶图上,有一组以靶心为圆心的大小不同的圆,他们把靶图由内到外分成几个区域,这些区域用由高到底的环数来表示,射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内,弹着点离靶心越近,它所在的区域就越靠内,对应的环数也就越高,射击的成绩越好.

活动四:探究

（1）如图,做经过已知点a的圆,这样的圆你能做出多少个？

（2）如图做经过已知点a、b的圆,这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？

思考

经过不在同一条直线上的三点做一个圆,如何确定这个圆的圆心？

分析:如图 三点a、b、c不在同一条直线上,因为所求的圆要经过a、b、c三点,所以圆心到这三点的距离相等,因此这个点要在线段ab的垂直的平分线上,又要在线段bc的垂直的平分线上．

1．分别连接ab、bc、ac

2．分别作出线段ab的垂直平分线l1和l2,设他们的交点为o ,则oa=ob=oc；

3．以点o为圆心,oa（或ob、oc）为半径作圆,便可以作出经过a、b、c的圆．

由于过a、b、c三点的圆的圆心只能是点o,半径等于oa,所以这样的圆只能有一个,即:

结论:不在同一条直线上的三点确定一个圆．

经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．

（三）应用迁移 巩固提高

1、判断下列说法是否正确

(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ).

(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )

(3)经过三点一定可以确定一个圆( )

(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )

2、如图,已知等边三角形abc中, 边长为6cm,求它的外接圆半径.

3、如图,已知 rt⊿abc 中 ,若 ac=12cm,bc=5cm,求的外接圆半径.

（四）总结反思 拓展升华

总结:1、本节学习的数学知识:（1）点和圆的位置关系；（2）不在同一直至线上的三点确定一个圆.

2、本节学习的数学方法是数形结合

点与圆的位置关系教材分析第 3 篇

课 题: 两圆的位置关系

数学教案－两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点 ：知识的综合运用．

教学过程 ：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相 离

相 切

相 交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解: 圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的'位置关系

外 离

外 切

相 交

内 切

内 含

两圆的交点个数

0

1

2

1

0

d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理 设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+r两圆外离；

⑵d=R+r 两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r） 两圆内切；

⑸dr)两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（ ）

（A）外离 （B）相切 （C）内含 （D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（ ）

（A）外切 （B）内切 （C）外切或内切 （D）不确定

⒊已知：⊙O1 和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1 和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm； ⑵O1O2=7cm； ⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm； ⑸O1O2=0.5cm； ⑹O1O2=0，即⊙O1 和⊙O2重合；

四作业 :P137 2.3.4.5

点与圆的位置关系教材分析第 4 篇

本节《点和圆的位置关系第二课时——确定圆的条件》。在教学设计上，我采取学生小组讨论交流的形式探究经过平面上几个点能确定一个圆的条件，先回顾复习了“线段垂直平分线的性质”“几点确定一条直线”等知识，为下面寻找做圆的方法做好铺垫。由类比的数学思想得到探究经过平面上一点、两个点、及不在同一直线上三点确定一个圆的方法，整个探究过程我坚持老师引导，学生动手操作，自主探究。在得到“不在同一直线的三点确定一个圆”定理后，概括得到三角形的外接圆、外心等概念和外心的性质。

优点：

1、本节课中用分类讨论的思想，探究经过平面上几点作圆的方法，层次分明，学生理解起来简单明了。

2、“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”在作法上，让学生经历了循序渐进的探究过程，即通过画图、观察、分析、发现：经过平面上一个点可以画无数个圆（因为圆心位置和半径大小都不确定，故有无数个）；经过平面上两个已知点也可以画无数个圆（因为圆心分布在连接两点线段的垂直平分线上，有无数个位置，故不唯一）；经过平面上不在同一直线上的三点可以确定一个圆(因为圆心的位置是唯一的且半径的大小也是唯一的故能确定一个圆)。整个过程体现了学生的主体地位，发挥了学生的`主观能动性，即培养学生的探索能力，同时还培养了学生动手画图能力及发展实践能力与创新精神，较好的完成了预期目标。

3、学生小组交流活动积极有序，讨论热烈。

4、学生点评积极大胆，准确到位，起到了小老师的示范作用。

5、本节主要存在的问题和一些建议有如下几点：

(1)时间分配方面不够合理，出现前松后紧。

(2)我在备课的时候就很纠结反证法要不要讲，很多老师认为最后的反证法可以不讲，因为时间有限，也很难讲清楚，在自习辅导时另做处理。

(3)处理“外心”在三角形的什么位置时可以采用几何画板来动态演示，更加形象、直观，又可以节省时间。对此，我认为是一种非常好的处理方法。