复数的三角表示教学设计

这是复数的三角表示教学设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数的三角表示教学设计第 1 篇

第一部分内容：内容标准

1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示．

2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义．

3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.

... ... ...

复数的三角表示PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点　复数的三角表示式

预习教材，思考问题

(1)如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?

(2)我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量OZ→＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量OZ→的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？

知识梳理　(1)复数的辐角：以x轴的非负半轴为始边，____________为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．我们规定在______范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，即______ .

(2)复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成______的形式．其中，r是复数的______；θ是复数z＝a＋bi的辐角．______ 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，______ 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们的______与______分别相等．

[自主检测]

1．复数1＋3i化成三角形式，正确的是(

　　)

A．2(cos 2π3＋isin 2π3)

B．2(cos π3＋isin π3)

C．2(cos 5π3＋isin 5π3)

D．2(cos 11π6＋isin 11π6)

2．复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是(

　　)

A．80°

　　B．100°

C．190° D．260°

... ... ...

复数的三角表示PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究

探究一　复数的三角形式

[例1]　下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；

(2) z2＝2(cos π5－isin π5)；

(3) z3＝－sin θ＋icos θ .

(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cos π5，－2sin π5)在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－π5”或“－π5”变换到第四象限．

所以z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[cos(－π5)＋isin (－π5)]或z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[(cos(2π－π5)＋isin (2π－π5)]＝2(cos 9π5＋isin9π5)，考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．

(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ”将θ变换到第二象限．

所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (π2＋θ)＋isin (π2＋θ) .

方法提升

复数三角形式的判断依据和变形步骤

(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.

探究二　复数的代数形式表示成三角形式

[例2]　画出下列复数对应的向量，指出它们的模和辐角的主值，并把这些复数表示成三角形式：

(1)3i；(2)－10；(3)2－2i ；(4) －1＋3i.

(2)复数－10对应的向量如图所示，

则模r＝10，对应的点在x轴的负半轴上，所以arg(－10)＝π.所以－10＝10(cos π＋isin π)．

方法提升

复数的代数形式化三角形式的步骤

(1)先求复数的模；

(2)决定辐角所在的象限；

(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；

(4)写出复数的三角形式．

探究三　把复数表示成代数形式

[例3]　分别指出下列复数的模和一个辐角，并把这些复数表示成代数形式：

(1)10(cos π3＋isinπ3)；

(2)14(cos 5π6＋isin5π6)；

(3)2(cos 45°－isin 45°)．

方法提升

1．类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

2．由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．

... ... ...

复数的三角表示PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优

复数的三角形式

逻辑推理、数学运算

在求复数的三角形式时，需要进行复杂的三角恒等变换，在变换时一定要根据复数三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连，确定判断的依据和变形的方向．只要角的范围在[0,2π]即可．

[素养提升]　1.在表示复数的三角形式时，要严格套用复数三角形式的四个结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

2．注意复数辐角的主值范围[0,2π).

复数的三角表示教学设计第 2 篇

python中复数的表示形式？

Python中可以使用complex(real，imag)或者是带有后缀j的浮点数来指定，如a=complex(2, 4) a为2+4j，或者b = 3-5j。

将复数z=√3-i表示三角形式？

3-3i的膜是根号下3的平方加-3的平方等于3√2，辅角为-3除以3等于-1，因为(3，-3)是第四象限角，-1是-45°，sin第四象限为负，cos第四象限为正，所以三角形式为3√2[cos45°+isin(-45°)]

复数的极坐标形式怎么表示？

复数的极坐标是将实数部分与虚数部分分开表示,形式如下： y=a+bi y是复数；a是y的实数部分；b是y的虚数部分；i表示虚数。

复数的三角表示？

答：复数的三角表示为：z=r(cosa+isina)

复数三角形式？

i是虚数单位。 虚数单位 i²=-1，并且 i 可以与实数在一起按照同样的运算律进行四则运算，i 叫做虚数单位。虚数单位i的幂具有周期性，虚数单位用I表示，是欧拉在1748年在其《无穷小分析理论》中提出，但没有受到重视。1801年经高斯系统使用后，才被普遍采用。 虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。“虚数”一词首先由笛卡儿提出。早在1800年就有人用(a，b)点来表示a+bi，他们可能是柯蒂斯、棣莫佛、欧拉以及范德蒙。把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞尔，并且由他第一个给出复数的向量运算法则。“i”这

名词复数形式的特殊表示法

一般在名词词尾加s；以s,sh, ch及x结尾的名词加es构成其复数形式； 以o结尾的词，在词后加es，但photo,radio除外。

动物单词的复数形式表示什么？

复数形式表示数量。 例如 tiger 单数表示一只老虎，复数 tigers 表示有两只及两只以上的老虎。

动物单词的复数形式表示什么？

复数形式表示数量。 例如 tiger 单数表示一只老虎，复数 tigers 表示有两只及两只以上的老虎。

为什么要引入复数的三角形式，这种表示方式有什么优点？

复数的代数形式与三角形式，在复平面都可以像直角坐标系，表示出位置与图形。 二，对于加减乘除运算法则的运用，代数形式比较方便。 三，对于乘方开方不如三角形式。 在中等教育知道这些也就可以了。 ——这些在教科书都有。 （理科高校学习一些复变函数论，那是另一回事了。）

German.wife.sunday用复数形式怎么表示？

Germans wives Sundays

复数的三角表示为什么带星号？

原来高中课本里面有的，但为了降低难度和教学改革的原因，高考不考这部分内容了，就以星号标出来。

三角函数的复数形式？

x(t)=Ae^j(Ωt+Ф)

复数的三角形式怎么来的？

复数的三角形式来源于三角函数的定义。复数的一般形式是x +y i 。三角函数的定义是sin a =y /r, cos a =x /r. 所以，x =r cos a, y =r sina. 因此，x +y i =r cos a +r sin a.

复数的三角函数的形式怎么转换成指数形式？

a+bi=pe^iθp= √(a^2+b^2)tanθ=b/a这里tanθ=-0.4/0.8=-0.5p=√(0.8^2+0.4^2)=0.4√5

复数—1—3i的三角表示式为？

z=-1-3iz的模是r=√[(-1)²+(-3)²]=√10因为z在第三象限，所以辐角是θ=arctan(-3/(-1))+π=π+arctan3∴三角形式为z=r(cosθ+isinθ)=√10[cos(π+arctan3)+isin(π+arctan3)] 即z=√10[-cos(arctan3)-isin(arctan3)]

英语里面脚的复数形式怎么表示？

feet英 [fiːt] 美 [fit] n. 脚（foot的复数形式）；尺；韵脚

复数-1的三角形式是？

在数学上，两个向量的夹角(角度)是用内积来定义的，如果记向量a,b的夹角为α,则定义cosα=(a,b)/|a||b|,无论是实空间还是复空间，向量的内积一定是实数，向量的模一定是实数，从而定义出来的夹角一定是一个实数。从这个角度讲，几何空间不存在复数角度。 然而我们可以定义复数角度的各种三角函数，由欧拉公式e^(iz)=cosz+sinz,从而可以利用复指函数定义复数的正弦，余弦，正切，余切等，这样定义出来的三角函数性质与通常的三角函数大致是一样的，有同样的三角恒等式。

oronge复数形式，pear复数形式？

pear的复数形式是 pears，详细信息如下： pear英 [peə(r)] 美 [per] n.梨树;梨（树） 例句： This pear tastes a bit sour. 这梨带点酸味。 Here's a pear for you. Catch! 给你一个梨，接着！

什么是相角？还有复数的极坐标形式怎么表示？

复数的极坐标是将实数部分与虚数部分分开表示，形式如下： y=a+bi y是复数，a是y的实数部分，b是y的虚数部分，i表示虚数。

什么是相角?还有复数的极坐标形式怎么表示？

复数的极坐标是将实数部分与虚数部分分开表示，形式如下： y=a+bi y是复数，a是y的实数部分，b是y的虚数部分，i表示虚数。

复数的三角表示教学设计第 3 篇

教学设计

教材分析

复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物，其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.

教学目标与核心素养

课程目标：

1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；

2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.

数学学科素养

1.数学运算：复数的三角形式乘、除运算;

2.直观想象：复数的三角形式乘、除运算的几何意义;

3.数学建模：结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用，培养学生对数学的学习兴趣.

教学重难点

重点：复数三角形式的乘除运算．

难点：复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

复数的三角表示教学设计第 4 篇

　(二)用三角法解几何问题

　　用三角法解几何问题，常将线段和角的关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换、解三角方程或证明三角不等式来完成几何问题的解答．

　　例3 在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延长线交AB于E(如图3)．求证：∠AME=∠CMB．

　　思路分析 这类问题，用几何法会困难重重，而转化为用三角法则柳暗花明．

　　

　　设∠AME=α，∠CMB=β，则∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=45°＋β．在△AME和△ACE中，由正弦定理，得

　　

　　

　　　②÷①且由AC＝2AM，得

　　

　　

　　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　又α、β∈(0°，90°)，所以α＝β，即∠AME=∠CMB．

　　例4(蝴蝶定理)过⊙O的一条弦AB的中点C任作两条弦DE和GF，连结DG和EF分别交AB于M、N(如图13－4)．求证：CM=CN．

　　思路分析 设AB=2a，AC=CB=a，CM=x，CN=y，各角假设如图4所示．

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　　由相交弦定理有AM·MB=GM·MD，即(a-x)(a＋x)

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　所以x=y，即CM=CN．

　　在上一讲中我们用对称变换证过蝴蝶定理，方法很轻盈．此处的三角法给我们又一种灵巧感

　(三)用解析法解几何问题

　　解析法是笛卡儿推崇的数学思想方法，它的优势主要在解题的规范化，其解题步骤主要是：通过建立坐标系，设定所给图形上有关点的坐标和曲线的方程后，便可将几何问题转化为代数问题；然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答．

　　例5 在△ABC中，已知AD是BC边上的高，P是AD上任一点，BP、CP延长线交AC、AB于E、F．求证：∠ADE=∠ADF．

　　思路分析 此题如用几何法须较高技巧，我们试用解析法来证明．

　　建立直角坐标系如图5，则只须证明DE、DF的斜率互为相反数就可以了．

　　设A、B、C、P四点坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，p)，由截距式可求出AB、CP、AC、BP的直线方程为

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　　所以∠ADE=∠ADF．

　　例6 巳知正方形ABCD，BD∥EC，以D为圆心，BD为半径画弧，交EC于E，连结ED交BC于F．求证：BF=BE．

　　思路分析 如图6所示，建立直角坐标系．

　　设正方形的边长为1，正方形四个顶点的坐标为A(0，1)、B(1，1)、C(1，0)、D(0，0)，又设E(x1，y1)、F(x2，y2)．

　　

　

　　

　　

　　又因为CE∥BD，所以直线CE的斜率等于直线BD的斜率，即

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　即得｜BE｜=｜BF｜．

　　由上述例子可见，解析法证几何题，思路明确，有规可循，而且可以减少或避免添加辅助线，可以减少“寻求隐含条件”的困难．使用时要注意的是坐标系的选取要适当，这样可简化计算．

(四)用复数法解几何问题

　　用复数法解答几何问题，基本思路是从问题的特点出发，建立复平面，选取相应的复数表示形式，根据题设条件，将几何问题转化为复数问题，通过复数的计算与推理，完成对问题的解答．

　　例7如图7，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转．试证不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在一点M，使△BMD为等腰直角三角形．

　　

　　

　　

　　

　　　数法证明．

　　不妨设等腰直角三角形ADE绕A旋转到如图8位置．因为AB≠AD，故B、D总不会重合．以B、D连线为实轴，BD的垂直平分线为虚轴，建立复平面．设B、D所表示的复数分别为zB=-1，zD=1．

　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　上，且｜OB｜=｜OD｜=｜OM｜=1．故△BMD为等腰直角三角形．

　　例8 在半圆O中，定点A在直径EF的延长线上，B点在半圆周上运动，以AB为一边向外作正三角形ABC．问B在何处时，O、C两点距离最远？求这最远距离．

　　思路分析 建立复平面如图9，设圆半径为r，∠AOB=θ，

　　

　　　

　

　　

　　　复数是zC=cr(cosθ+isinθ)＋［(a-rcosθ)-irsinθ］(cos60°

　　

　　　

　　

　　-2arcos(θ＋60°)．故当cos(θ＋60°)=-1时，即θ=120°时， ｜OC｜max=a＋r．

　(五)用向量法解几何问题

　　向量代数是现代数学最活跃的分支之一，向量能深刻描述现实世界的空间形式，是沟通数与形内在联系的有力工具，利用向量的运算证明几何问题，方法很新颖．

　　例9 已知G是△ABC的重心，O是任意一点．求证：

AB2＋BC2＋CA2+9OG2=3(OA2+OB2＋OC2)．

　　

　　

　　　思路分析 这道题用几何法证明较困难，用向量法却能得心应手．

　　

　　

　　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　　

　　例12 设四边形A1A2A3A4为圆O的内接四边形，M1、M2、M3、M4依次为△A2A3A4、△A3A4A1、△A4A1A2、△A1A2A3的垂心．求证：M1、M2、M3、M4四点共圆，并定出圆心的位置．

　　思路分析 作直径A1B，连结A2B、A4B，则向量OA1=-OB，A4B⊥A4A1，又M3为△A4A1A2的垂心，A2M3⊥A1A4，所以A4B∥A2M3．同理得A2B∥A4M3．则四边形BA4M3A2为平行四边形(如图11所示)．

　　　

　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　

　　　

　　(i=1，2，3，4)．

　　

　　

　　

　　　这表明Mi到点G的距离为定长r，故M1、M2、M3、M4四点共圆，再由多边形法则可作出圆心G．