圆周角定理的三个推论

这是圆周角定理的三个推论，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

圆周角定理的三个推论第 1 篇

【学习目标】：

使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。

【学习过程】：

一、引入新课

同学产注意观察教师的表演，当老师高速转动这个圆盘时，圆盘边缘的线条的运动状态是怎样的？显然每根线都是成直线状态，这些直线就是⊙O 的切线，线固定在圆盘边缘上的点就是直线与圆相切的切点，这些切线与经过切点的半径垂直，如右图所示。

下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。

]

二、切线的判定和性质

A ，

且垂直于这条半径OA ，这条直线与圆有几个交点？

从图23.2.8可以看出，此时直线与圆只有一个交点，即直线l 是圆的切

线．

切线的判定方法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 思考：

如图1，直线AB 垂直于半径OC ，直线AB 是⊙O 的切线吗？ 如图2，直线AB 垂直于半径OC ，直线AB 是⊙O 的切线吗？

如上图，如果直线CD 是⊙O 的切线，点A 为切点，那么半径OA 与CD 垂直吗？

做一做：画一个圆O 及半径OA ，画一条CD 经过⊙O 的半径的外端点

图

23.2.8

C

由于CD 是⊙O 的切线，圆心O 到直线CD 的距离等于半径，所以OA 是圆心O 到AB 的距离，因此C D AB 。 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

C

三、例题与练习

如图23.2.9，已知直线AB 经过⊙O 上的点A ，且AB ＝OA ，∠OBA ＝45°，

直线AB 是⊙O 的切线吗？为什么？

分析：要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，其一是这条直 线是否经过半径外端，其二是这条直线是否与这条半径垂直，若满足这两个 条件，就能说明这条直线是圆的切线。

解 直线AB 是⊙O 的切线． 因为AB ＝OA ，且∠OBA ＝45°，

所以∠AOB ＝45°，∠OAB ＝90°

图23.2.9

根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

所以直线AB 是⊙O 的切线

练习：1、已知：PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B 点，点C 为圆周上的一

点，求∠A C B 的度数。

2、如图，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝45°，AC ＝AB ，AC 是⊙O 的切线吗？

为什么？

例2、如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠BAD ＝∠B ＝30°，边BD 交圆于点D . ，BD 是⊙O 的切线吗？为什么？

解：切线OD

BD 是⊙O 的切线

（第2题）

A

B

因为 AC 是⊙O 的直径

所以 ∠A D C =90︒

又因为 ∠B A D =30︒，O A =O D 所以 ∠D O B =60︒ 因为 ∠B =30︒

所以 ∠O D B =90︒，即B D ⊥O D 所以 BD 是⊙O 的切线

练习：已知，如图，AB 是⊙O 的直径，A D ⊥C D ，BC ⊥C D ，垂足分别为D 、C 点，且A B =B C +A D ，

那么，CD 与⊙O 相切吗？为什么？ 由于上面的命题未涉及到这种类型的题目，在练习时，给学生提示此题辅

助线的添法以及解决问题的思路。

四、小结

本节课让学习了圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判力，并能通过作简单的辅助线去解决某些问题。

断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能

五、作业

Ｐ54 习题7、12

圆周角定理的三个推论第 2 篇

　　教学内容

　　24。2圆的切线（1）

　　教学目标 使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题

　　通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力

　　教学重点 切线的识别方法

　　教学难点 方法的理解及实际运用

　　教具准备 投影仪，胶片

　　教学过程 教师活动 学生活动

　　（一）复习 情境导入

　　1、复习、回顾直线与圆的三 种位置关系。

　　2、请学生判断直线和圆的位置关系。

　　学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出 问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切 线的其它方法。（板书课题） 抢答

　　学生总结判别方法

　　（二）

　　实践与探索1：圆的切线的判断方法 1、由上面 的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

　　2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离 与半径 之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当 时，直线与圆的位置关系是相切。以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 。

　　3、实验：作⊙O的半径OA，过A作l⊥OA可以发现：

　　（1）直线 经过半径 的外端点 ；

　　（2）直线 垂直于半径 。这样我们就得到了从位 置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 理解并识记圆的切线的几种方法，并比较应用。

　　通过实验探究圆的切线的位置判别方法，深入理解它的两个要义。

　　三、课堂练习

　　思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？

　　请学生回顾作图过程，切线 是如何作出来的？它满足哪些条件？ 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径。

　　请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行？ （学生画出反例图）

　　（图1） （图2） 图（3）

　　图（1）中直线 经过半径外端，但不与半径垂直； 图（2）中直线 与半径垂直，但不经过半径外端。 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线。

　　最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆 心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式。 试验体会圆的位置判别方法。

　　理解位置判别方法的两个要素。

　　（四）应用与拓展 例1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，OBA=45，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？

　　例2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D。BD是⊙ O的切线吗？为什么？

　　分析：欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BD⊥OD，因OA＝OD，BAD＝B，易证BD⊥OD。

　　教师板演，给出解答过程及格式。

　　课堂练习：课本练习1－4 先选择方法，弄清位置判别方法与数量判别方法的本质区别。

　　注意圆的切线的特征与识别的区别。

　　（四）小结与作业 识 别一条直线是圆的切线，有 三种方法：

　　（1）根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

　　（2）根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；

　　（3）根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，

　　说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果 已知直线过圆上某 一点，则作出过 这一点的半径，证明直线垂直于半径即可（如例2）。

　　各抒己见，谈收获。

　　（五）板书设计

　　识别一条直线是圆的切线，有三种方法： 例：

　　（1 ）根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

　　（2）根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的'半径的直线是圆 的切线；

　　（3）根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，

　　说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过 这一点的半径，证明 直线垂直于半径

　　（六）教学后记

　　教学内容 24。2圆的切线（2） 课型 新授课 课时 执教

　　教学目标 通过探究，使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。

　　教学重点 切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。

　　教学难点 三角形的内心及其半径的确定。

　　教具准备 投影仪，胶片

　　教学过程 教师 活动 学生活动

　　（一）复习导入：

　　请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）

　　你能说明以下这个问题？

　　如右图所示，PA是 的平分线，AB是⊙O的切线，切点E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？

　　回顾旧知，看谁说的全。

　　利用旧知，分析解决该问题。

　　（二）

　　实践与探索 问题1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。

　　2、请问：这一点 与切点的 两条线段的长度相等吗？为什么？

　　3、切线长的定义是什么？

　　通过以 上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：

　　从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线

　　平分两条切线的夹角。 在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。

　　（三）拓展与应用 例：右图，PA、PB是，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为P，交PA、PB为E、F点，已知 ， ，（1）求 的周长；（2）求 的度数。

　　解：（1）连结PA、PB、EF是⊙O的切线

　　所以 ， ，

　　所以 的周长 （2）因为PA、PB、EF是⊙O的切线

　　所以 ， ，，

　　所以

　　所以

　　画图分析探究，教学中应注重基本图形的教学，引导学生发现基本图形，应用基本图形解决问题。

　　（四）小结与作业 谈一下本节课的 收获 ？ 各抒己见，看谁 说得最好

　　（五）板书设计

　　切线（2）

　　切线长相等 例：

　　切线长性质

　　点与圆心连 线平分两切线夹角

　　（六）教学后记

圆周角定理的三个推论第 3 篇

　　【内容概述】

　　证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。最常用的是利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。

　　本内容通过动手操作得出切线的判定定理，再利用解决两道例题，总结归纳出两种具体的证法：

　　①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；

　　②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

　　归纳总结后，马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。

　　【教学重难点】

　　理解切线的判定方法，能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。

　　【教学目标】

　　掌握判断圆的切线的方法，并灵活解题。进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。

　　【教学过程】

　　一、复习引入

　　平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？怎样判定一条直线是圆的切线？

　　⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（定义）

　　⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（d=r）

　　除了这两种方法，还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢?

　　活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？

　　切线判定定理：经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

　　活动二：分析定理。经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

　　这个定理有什么用？证明一条直线是圆的切线，那根据这个判定定理，要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？

　　对定理的理解：①经过半径外端. ②垂直于这条半径。

　　定理中的两个条件缺一不可。

　　二、典型例题

　　例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB，

　　求证：直线AB是⊙O的切线。

　　证明：连结0C

　　∵0A＝0B，CA＝CB，

　　∴AB⊥OC。

　　∵直线AB经过半径0C的外端C，

　　并且垂直于半径0C，

　　∴AB是⊙O的切线。

　　【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的`外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。

　　例2：如图，P是∠BAC上的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，请问AB与以P

　　为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么 ？

　　证明：过P作PE⊥AB于E

　　∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

　　∴PE=PD(角平分线上的点到角两边距离相等)

　　∴圆心P到AB的距离PE=PD=半径

　　∴AB与圆相切

　　【设计意图】通过例一和例二的解答，总结证明切线的两种添加辅助线的方法。

　　①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；

　　②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

　　三、知识应用（练习）

　　1、如图，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上

　　的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，弦AC平分∠EAB。

　　求证：DE是⊙O的切线．

　　［分析］：因直线DE与⊙O有公共点C，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

　　证明：连接OC，则OA=OC，

　　∴∠CAO=∠ACO(等边对等角)

　　∵AC平分∠EAB(已知)

　　∴∠EAC=∠CAO(角平分线的定义)

　　∴∠EAC=∠ACO（等量代换）

　　∴AE∥CO，(内错角相等，两直线平行)

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DC，

　　∴DE是⊙O的切线．

　　【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OC⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的。

　　2、如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分别是AC、

　　BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

　　［分析］：因直线AB与⊙O无确定的公共点，故应采用“作垂直，证半径”方法。

　　证明：过O点作OH⊥AB于H

　　∵E、F分别为AC、BC的中点（已知）

　　∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）

　　∴G点为CD的中点，OH=GD=CD

　　∵CD=AB ∴EF=CD

　　∴OH=EF

　　∴AB为⊙O的切线

　　四、小结升华

　　本节课里，你学到了哪些知识，它们是如何应用的？

　　证明切线的方法：(1)直线和圆有交点时，“连半径，证垂直”；

　　(2)直线和圆无确定交点时，“作垂直，证半径”。

　　【设计意图】让学生自己通过这节课的学习归纳总结出本知识点，即判断直线与

　　圆相切的方法以及二种添加辅助线的方法。

圆周角定理的三个推论第 4 篇

一、教学目标

1．使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质．

2．能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线．

3．综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力．

二、重点难点

教学重点：圆的切线的识别方法和圆的切线的性质，运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线．

教学难点：在识别圆的切线时，辅助线的添加以及逻辑推理能力的培养．

三、导入新课

下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的?这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．

新知探究

1．探究切线的判定

做一做：画一个⊙O及半径OA，画一条直线经过⊙O的半径的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直线与圆有几个交点?由此你能得到什么结论?你能说明理由吗?

讨论结果：从图1可以看出，此时直线与圆只有一个交点，即直线是圆的切线．

在上任取一点P(除A外)，必有OP>OA，即P在圆外，所以直线

与圆只有一个公共点，即直线是圆的切线．由此我们可以得到

切线的判定方法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：利用判定定理时，一定要注意“过半径的外端”而不是“过半径的一端”

如图2，直线AB垂直于半径OC，直线AB是⊙O的切线吗?如图3，直线AB垂直于半径0C，直线AB是⊙O的切线吗?

在两个图中，直线AB都不是⊙O的切线．

易错点：在运用判定定理时，只想到垂直于半径，而忽略过“半径外端”．

例1如图4，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB=

直线AB是⊙O的切线吗?为什么?

分析：要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件：其一是这条直线是否经过半径外端，其二是这条直线是否与

这条半径垂直．若满足这两个条件，就能说明这条直线是圆的

切线．

解：直线AB是O0的切线．

∵

∴

根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，

∴直线AB是⊙O的切线．

点评：判断一条直线是否为圆的切线，主要有三种方法：

①当一条直线与圆只有一个公共点时，直线与圆相切；

②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；

③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2．切线的性质

提出问题：如果直线CD是⊙O的切线，点A为切点，那么半径0A与CD垂直吗?，

由于CD是⊙O的切线，圆心0到直线CD的距离等于半径，所以0A是圆心0到CD的距离，因此CD⊥OA．则我们可得

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

由此，又给我们提供了一种在圆中作辅助线的方法：见切线．连切点和圆心，可构造垂直．

例3如图6，已知⊙O的半径为3，AC是⊙O的切线，切点为B，求么∠AOC的度数．

解：连结0B、OA、OC，

∵AC是⊙O的切线，

(圆的切线垂直于经过切点的半径)

是直角三角形．

∵⊙O的半径为3，

即

四、课堂小结

本节课学习了圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养自己的逻辑推理能力，并能通过作简单的辅助线去解决某些问题．

五、布置作业