充要条件教案

这是充要条件教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

充要条件教案第 1 篇

【复习目标】

1．解充分条件、必要条件、充要条件的意义；

2．判定所给的两个条件的充要关系。

【重点难点】

能判定所给的两个条件的充要关系

【课前预习】

1．列各题中，p是q的什么条件（指充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）？并说明理由：

（1）p：x1且y1,q：x+y2且xy1；

（2）p：x=1或x=－1,q：|x|=1；

（3）p：两个三角形面积相等，q：这两个三角形全等；

（4）p：xy,q：；

（5）p：{x|0x3},q：{x||x－1|2}；

（6）p：a、b都是偶数，q：a+b是偶数；

（7）p：|x||y|,q：x2y2；

2．果，那A是的 （ ）

A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.以上都不对

3．集合A={x|x2+x－6=0},B={x|mx+1=0} ,则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是

A． B．m= C． D． （ ）

4．集合M={x| x2},P={x|x3},那么“x∈M,或x∈P”是“x∈M∩P”的 （ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．知四个命题A、B、C、D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的 条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）；

6．A是B成立的充分条件，则B是A成立的 条件；

A是B成立的充要条件，则B是A成立的 条件。

【典型例题】

例1 已知a、b是实数，求证a4－b4－2b2=1成立的充分条件是a2－b2=1。该条件是否为必要条件？证明你的结论.

例2 在表中指出A是B的什么条件

A

B

判定结果

四棱锥各侧面都是正三角形

四棱锥是正棱锥

|a－b|≤|a|+|b|取等号(a,b∈R)

ab≤0(a,b∈R)

α≠β

sinα≠sinβ

a2b2

ab

a2+b24(a,b∈R)

点(a,b)在圆a2+b24内

例3 已知方程，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

【巩固练习】

1．A是B成立的充分条件，则是成立的 （ ）

2．甲、乙、丙是三个命题，若甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则丙是甲的 （ ）

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充又不必要条

3．题A：ax2+2ax+10的解集是实数集R，命题B：0a1，则命题A是命题B的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件

4．“充分、必要、充要”填空：

①p或q为真命题是p且q为真命题的______条件；

②非p为假命题是p或q为真命题的______条件；

③A：|x－ 2 |3, B：x2－ 4x－ 150, 则A是B的_____条件.

5．A：a∈R,|a|1, B：x的二次方程x2+(a+1)x+a－2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A是B的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【本课小结】

【课后作业】

1．题p是“对某些实数x，x－a0或x－b≤0”，其中a,b是常数.

（1）写出命题p的否定；

（2）a,b满足什么条件时，命题p的否定为真命题？

2．知； 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围。

充要条件教案第 2 篇

知识点一：命题 1. 定义：

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.

（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理 等都是真命题； （3）命题“

”的真假判定方式：

”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有

① 若要判断命题“时在推导时加上语气词“一

定”能帮助判断。如： ② 若要判断命题“ 注意：“

2. 逻辑联结词：

一定推出.

”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.

（2）复合命题的构成形式：

①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3

①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；

②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p ”与p 的真假相反. 注意：

（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：一是p 成立且q 不成立，

二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 也成立。可以类比于集合中“

或

”.

（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p 或q ”的否定是“论。

知识点二：四种命题 1. 四种命题的形式：

用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用定，则四种命题的形式为：

原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若

2. 四种命题的关系

p 则

q ； 逆否命题：若

q 则

p. p 和

q 分别表示p 和q 的否

p 且

q ”； “p 且q ” 的否定是“

p 或

q ”.

（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结

①原命题逆否命题. 它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题

否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题

转化的另一依据和途径.

除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

知识点三：充分条件与必要条件 1. 定义：

对于“若p 则q ”形式的命题：

①若p ②若p 件；

q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； q ，但q

p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条

③若既有p 条件）.

2. 理解认知：

q ，又有q p ，记作p q ，则p 是q 的充分必要条件（充要

（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.

（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.

“当且仅当”. “有且仅有”. “必须且只须”. “等价于”“?反过来也成立”等均为充要条件的 同义词语.

3. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：

（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真

假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用

与

； 与

；

与

的等价关系，对于条

件或结论是不等关系

（或否定式）的命题，一般运用等价法. (3) 利用集合间的包含关系判断，比如A A B ，且B A ，即A 如图： “

”

“

，且

”

是

的充分

B.

B 可判断为A B ；A=B可判断为

不必要条件. “

”

“

”

是

的充分必要条件.

知识点四：全称量词与存在量词 1. 全称量词与存在量词

（I ）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“

”表示，读作“对任意”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为“其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.

（II ）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”, “有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.

2. 对含有一个量词的命题进行否定 （I ）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：的否定是特称命题。

（II ）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：题的否定是全称命题。 注意：

（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题

的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。 （2）一些常见的词的否定：

”，

”，

，他的否定： 。全称命题

，他的否定： 。特称命

规律方法指导

1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真假性一致.

2. 要注意区分命题的否定与否命题.

3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照 可加深认识和理解. 4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证

明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条

件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件. 5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。

充要条件教案第 3 篇

说课内容 ：1.8 充分条件与必要条件

教材分析 ： 本节是学生掌握逻辑联结及四种命题的知识后，通过若干实例，首先给出符号“?”，

并引出充分条件与必要条件的概念，在此基础上讲述了充要条件的初步知识。

充分条件、必要条件及充要条件是数学的重要概念，同时也是前面所学：命题的真

假判断、四种命题的关系及四种命题真假间的关系等知识的灵活应用。因此在教学中应在学生理解充分条件、必要条件的定义的基础上注重结合实际加以训练和练习，使学生理解掌握充分条件、必要条件的判断方法，并熟练应用前面的知识。

教学重点 ： 充分条件与必要条件

教学难点 ： 充分条件与必要条件的判断

教学建议 ： 本节重点理解充分条件与必要条件的概念，会正确判断谁是谁的什么条件。所以，

在教学过程中应通过联系学过的代数、几何的实例，使学生准确理解掌握符合“?”与等价符合“?”的含义，和充分条件、必要条件及充要条件的意义及判断命题的条件和结论的关系时的灵活应用。明确“条件?结论”，条件是充分条件。“结论?条件”，此时条件是必要条件。

课时数 ： 2课时

第一课时

教学内容 ： 充分条件与必要条件

教学目标 ： 1. 理解推断符号“?”的含义

2. 理解充分条件与必要条件的意义与应用

教学重点 ： 充分条件与必要条件的判断

教学难点 ： 理解、掌握充分条件与必要条件的判断方法

教学步骤

一 复习导入

1、判断下列命题的真假

（1）若a>0,则ac>bc;

(2)若a>b,则a+c>b+c；

（3）若a>0, 则a 2>0;

(4)若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等。

2、引入符号“?”

若P 则Q, 可表示成“P ?Q ”

二、新授

1、给出充分条件，必要条件的定义。P34

老师应强调指出区分“条件与结论”即“谁推出谁”

“结论?条件” 是必要性，“条件”是必要条件

“条件?结论”是充分性，“条件”是充分条件。

2、例题分析：

课本例题1 P34

补充练习：例2

（1）已知：P :a >2, 且b >2; Q :a +b >4, 且ab >4

则P 是Q 的________________条件。

（2）P :x >0, y >0, Q :xy >0. 则P 是Q 的________________条件。

（3）设A 是B 的充分不必要条件，则?A 是?B 的_____________条件。

（4）如果甲是乙的必要而不充分条件，丙是乙的既充分又必要条件，那么

丙是甲的___________条件。

（5）x =-x 是x 2≥x 的___________条件。

（6）" x

（7）“同旁内角互补”是“两直线平行”的___________条件。

3、总结归纳：

充分条件与必要条件重点分清：

①谁是条件，谁是结论

②是“谁推出谁”。

第2课时

教学内容：充要条件

教学目标：1、理解并掌握充要条件的概念；

2、掌握判断命题的充要条件的方法；

3、培养学生的简单的逻辑推理能力。

教学重点：1、充要条件的意义；

2、命题条件的充要性的判断。

教学难点：命题条件的充要性的判断。

教学方法：讲练结合

教学过程：

一、复习回顾

1、充分与必要条件的定义

2、一个命题的充分性、必要性分为那几类。

课前练习

1、P:若a 是无理数, 且a+5是无理数,P 是Q 的___________条件.

2、P:若一元二次方程ax +bx +c =0, 有两个不等实根；Q:判别式大于零；则P 是Q 的

___________条件.

二、新授

1、 给出“充要条件”的定义，课本P35

2、 归纳： 2

P ?Q 且Q ?P P为Q 的充分不必要条件

P ?Q 且Q ?P P为Q 的必要不充分条件

P ?Q 且Q ?P P为Q 的充要条件

P ?Q 且Q ?P P为Q 的既不充分又不必要条件

3、 练习：

(x -3) =0; Q :x -2=0; P 是Q 的____________条件。 （1）P :(x -2)

（2）P :x =3, Q :x 2=9; P是Q 的____________条件。

（3）P :四边形对角线相等；Q :四边形为平行四边形；P 是Q 的____________条件。

（4）P :两直线平行；Q :两直线同位角相等；P 是Q 的____________条件。

4、 例题选讲：

（1） 设x,y ∈R, 求证：x +y =x +y 的充要条件是x y ≥0。 变式：求x +y =x +y 的充要条件。

2（2） 设集合A =a |a +a -6=0, B ={b |mb +1=0}，试求B ?A 的一个充分{}

不必要条件。

三、课堂练习：

1、 一元二次方程ax +bx +c =0, 有一正根，有一负根的充要条件是__________.

2、 设A,B 是两个非空集合，则A ?B =A 是A =B 的_____________条件。

3、 已知：P :x (x +3) =x ; Q :2x +3=x ; P是Q 的____________条件。

四、小结，归纳（可以让学生自己完成）

322

充分条件，必要条件

命题人：张玉敏 2006/09

一、选择题

1、设原命题“若P 则Q ”真，而逆命题假，则P 是Q 的（ ）

A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

2、如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分不必要条件，D 是C 的充分

不必要条件，那么A 是D 的 （ ）

A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3、x 2+(y -2) 2=0是x (y -2) =0的 （ ）

A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4、若?A ??B , 则A 是B 的 （ ）

A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

5、条件M:??α+β>4?α>2, 则M 是N 的 （ ） , 条件N:??β>2?α β>4

A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

6、x >1是1

A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

二、空题：

7、设a,b 都是实数，那么ab=0的充分必要条件是____________.

8、若x 是实数，则x -2

9、方程ax +bx +c =0, (a ≠o ) 有实数根是ac

三、解答题：

10、求证：关于x 的二次方程x -mx +m -4=0有

两个正实数根的充要条件是：2

11、求关于x 的一元二次不等式ax +ax +1>0对一切实数x 都成立的充要条件。

2

充要条件教案第 4 篇

课型：新授课 执笔：何银刚

◆教学目标

1. 推断符号的含义

2. 掌握充分条件的意义及应用

3. 掌握必要条件的意义及应用

4.充要条件的概念

5.判断命题的条件的充要性的方法.

◆教学重点：

充分条件，必要条件，充要条件的判断

◆教学难点：理解并掌握充分条件，必要条件的判断方法，命题

条件的充要性判断

◆教学方法：启发式、讨论式，讲授式

◆教学过程

一、自学引导

1.判断下列命题真假并用符号Þ或Þ或Û写出来

(1)若a>0则ac>0

(2) 若a>b则a+c>b+c

(3) 若x≥0则x2≥0

(4) 若要取得好成绩则需要努力学习

(5)若四边形的对角线相等则四边形是平行四边形

写出充分条件,必要条件与充要条件的定义

答案：见课本

由上述命题的充分条件,必要条件的判断过程,可确定:命题按条件和结论的充分性,必要性可分为哪几类,请同学们讨论.

答案：四类 （1）充分不必要（2）必要不充分（3）充要（4）既不充分也不必要

2指出下列命题中,p是q的什么条件? q是p的什么条件?

(1) p: x=y ; q: x=y

(2) p:三角形的三条边相等 q:三角形的三个角相等

(3) p:x=1或x=2 q: x2－3x+2=0

(4) p:四边形的四边相等q:四边形是正方形

二、教学过程：

2例1.已知两个命题: p:2x+3=x2, q:

=x,则p是q22

的什么条件( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D不充分也不必要条件

〃方法点拨:注意到本题的两个命题实际上是所表示方程的解集,

因此可用集合的观点解决

〃同类变式

设集合M={x|x>2},p={x|x

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D不充分也不必要条件

例2. xy>0的一个充分而不必要条件是

〃方法点拨

本题是一个开放性命题,答案不唯一

同类变式: x

例3. 若已知A是B的充分条件,C是D的必要条件,而B是D的充要条件,则D是C的 条件, D是A的 条件, A是C的 条件, D是B的

条件,

〃方法点拨

如果pÞq,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件,说明充分和必要条件是相对的

〃同类变式:如果甲是乙的必要而不充分条件,丙是乙的既充分又必要条件,那么丙是甲的 条件

例4:已知p:|5x－2|>3 q:

条件

〃方法点拨 1>0 .则非p是非q的 2x+4x-5

本题也可用命题的等价命题来判断

〃同类变式

设A是B的充分不必要条件,则非A是非B的 条件

◆演练反馈

1.已知:p:a>2且b>2;q:a+b>4且ab>4,则p是q的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D不充分也不必要条件

2. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是( )

A ab>0 B ab0 D ac

3.若AÍB则A是B的 条件

4.设是A,B非空集合,则AIB=A是A=B的 条件

5.A是C的充分条件,B是C的充分条件, D是C的必要条件,D

也是B的充分条件,则D是C的 条件 A是B的 条件

◆总结提炼

本节小结：

本节主要学习了推断符号的含义，充分条件的意义，必要条件的意义，充分性必要性的判断，充要条件的判断

P作业:教材P,39练习 38

P39

课后反思：

“充要条件”是中学数学中一个及其重要的概念，是进一步学习的基础可以灵活的结合学科内和学科间的特点，因此始终是高考考察的热点。高考题中常以填空题和选择题的 形式出现，有时也出主观题。理解充要条件的定义，掌握判断充要条件的常用方法，如：定义法，集合法，等价命题法是快速解题的关键.

本节课采用双自主双发展的教学模式，课堂容量较大，练习量大，但对于实验班效果还不错。本节课的不足之处在于基本概念部分讲解相对较少以后有待改进。