三角函数反函数

这是三角函数反函数，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

三角函数反函数第 1 篇

教学目标

1.使学生了解反函数的概念；

2.使学生会求一些简单函数的反函数；

3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。

教学重点

1.反函数的概念；

2.反函数的求法。

教学难点

反函数的概念。

教学方法

师生共同讨论

教具装备

幻灯片2张

第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；

第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。

教学过程

（I）讲授新课

（检查预习情况）

师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。

同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？

生：（略）

（学生回答之后，打出幻灯片A）。

师：反函数的定义着重强调两点：

（1）根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；

（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。

师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。

师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？

生：一一映射确定的函数才有反函数。

（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。

师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）

在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）

由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？

生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。

师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。

从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：

（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；

（2）将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。

（3）指出反函数的定义域。

下面请同学自看例1

（II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。

（III）课时小结

本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。

（IV）课后作业

一、课本P69习题2.41、2。

二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。

板书设计

课题：求反函数的方法步骤：

定义：（幻灯片）

注意：小结

一一映射确定的

函数才有反函数

函数与它的反函

数定义域、值域的关系

三角函数反函数第 2 篇

　　已知三角函数值求角(反正弦，反余弦函数)

　　目的：要求学生初步(了解)理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出 范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。

　　过程：

　　一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。

　　由

　　1°在R上无反函数。

　　2°在 上， x与y是一一对应的，且区间 比较简单

　　在 上， 的反函数称作反正弦函数，

　　记作 ，(奇函数)。

　　同理，由

　　在 上， 的反函数称作反余弦函数，

　　记作

　　二、已知三角函数求角

　　首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。

　　已知三角函数值求角是多值的。

　　例一、1、已知 ，求x

　　解： 在 上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个

　　∴ (即 )

　　2、已知

　　解： ， 是第一或第二象限角。

　　即( )。

　　3、已知

　　解： x是第三或第四象限角。

　　(即 或 )

　　这里用到 是奇函数。

　　例二、1、已知 ，求

　　解：在 上余弦函数 是单调递减的，

　　且符合条件的角只有一个

　　2、已知 ，且 ，求x的值。

　　解： ， x是第二或第三象限角。

　　3、已知 ，求x的值。

　　解：由上题： 。

　　介绍：∵

　　∴上题

　　例三、(见课本P74-P75)略。

　　三、小结：求角的多值性

　　法则：1、先决定角的象限。

　　2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x;

　　如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x，

　　3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。

　　四、作业：P76-77 练习 3

　　习题4.11 1，2，3，4中有关部分。

三角函数反函数第 3 篇

　　【教学课题】: 已知三角函数值求角

　　【教学目标】: 了解反三角函数的定义，掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

　　【教学重点】: 掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

　　【教学难点】: 反三角函数的定义

　　【教学过程】:

　　一． 问题的提出：

　　在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（ ），我们如何表示 呢？相当于 中如何用 来表示 ，这是一个反解 的过程，由此想到求反函数，第一册已知三角函数值求角。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

　　（1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的所有值。

　　显然对 ，这样的区间是 ；对 ，这样的区间是 ；对 ，这样的区间是 ；

　　二．新课的引入：

　　1．反正弦定义：

　　反正弦函数：函数 ， 的反函数叫做反正弦函数，记作： .

　　对于 注意：

　　（1） （相当于原来函数的值域）；

　　（2） （相当于原来函数的定义域）；

　　（3） ；

　　即： 相当于 内的一个角，这个角的正弦值为 。

　　反正弦：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正弦，记作： 。其中 ， 。

　　例如： ， ， ，

　　由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

　　２．反余弦定义：

　　反余弦函数：函数 ， 的'反函数叫做反余弦函数，记作： .

　　对于 注意：

　　（1） （相当于原来函数的值域）；

　　（2） （相当于原来函数的定义域）；

　　（3） ；

　　即： 相当于 内的一个角，这个角的余弦值为 。

　　反余弦：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正弦，记作： 。其中 ， 。

　　例如： ， ，由于 ，故 为负值时， 表示的是钝角。

　　３．反正切定义：

　　反正切函数：函数 ， 的反函数叫做反正弦函数，记作： .

　　对于 注意：

　　（1） （相当于原来函数的值域）；

　　（2） （相当于原来函数的定义域）；

　　（3） ；

　　即： 相当于 内的一个角，这个角的正切值为 。

　　反正切：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正切，记作： 。其中 ， 。

　　例如： ， ， ，

　　对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数，高中数学教案《第一册已知三角函数值求角》。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于 对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

　　练习：

　　三．课堂练习：

　　例1．请说明下列各式的含义：

　　(1) ； (2) ； (3） ； (4) 。

　　解：（1） 表示 之间的一个角，这个角的正弦值为 ，这个角是 ；

　　（2） 表示 之间的一个角，这个角的正弦值为 ，这个角不存在，即 的写法没有意义，与 ， 矛盾；

　　（3） 表示 之间的一个角，这个角的余弦值为 ，这个角是 ；

　　（4） 表示 之间的一个角，这个角的正切值为 。这个角是一个锐角。

　　例2.比较大小：（1） 与 ；（2） 与 。

　　解：（1）设： ， ； ， ，

　　则 ， ，

　　∵ 在 上是增函数， ，

　　∴ ，即 。

　　（2） 中 小于零， 表示负锐角，

　　中 虽然小于零，但 表示钝角。

　　即： 。

　　例3．已知： ， ，求： 的值。

　　解： 正弦值为 的角只有一个，即： ，

　　在 中正弦值为 的角还有一个，为钝角，即： ，

　　所求 的集合为： 。

　　注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

　　例4．已知： ， ，求： 的值。

　　解： 余弦值为 的角只有一个，即： ，

　　在 中余弦值为 的角还有一个，为第三象限角，即： ，

　　所求 的集合为： 。

　　例5．求证： （ ）。

　　证明：∵ ，∴ ，设 ， ，

　　则 ，即： ，即： ，

　　∵ ，∴ ，

　　∴ ，∴ ，即： 。

　　例6．求证： （ ）。

　　证明：∵ ，∴ ，设 ， ，

　　则 ，即： ，即： （*），

　　∵ ，∴ ，

　　∴ ，∴ ，即： 。

　　注意：（*）中不能用 来替换 ，虽然符号相同，但 ，不能用反余弦表示 。

　　四．课后作业。

　　书上：P76.练习,P77. 习题4.11。（均要准确值，划掉书上的精确到）

　　第一册已知三角函数值求角

三角函数反函数第 4 篇

　　一、学习目标与自我评估

　　1 掌握利用单位圆的几何方法作函数 的图象

　　2 结合 的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期

　　3 会用代数方法求 等函数的周期

　　4 理解周期性的几何意义

　　二、学习重点与难点

　　“周期函数的概念”， 周期的求解。

　　三、学法指导

　　1、 是周期函数是指对定义域中所有 都有

　　，即 应是恒等式。

　　2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。

　　四、学习活动与意义建构

　　五、重点与难点探究

　　例1、若钟摆的高度 与时间 之间的函数关系如图所示

　　(1)求该函数的周期;

　　(2)求 时钟摆的高度。

　　例2、求下列函数的周期。

　　(1) (2)

　　总结：(1)函数 (其中 均为常数，且

　　的周期T= 。

　　(2)函数 (其中 均为常数，且

　　的周期T= 。

　　例3、求证： 的周期为 。

　　例4、(1)研究 和 函数的图象，分析其周期性。

　　(2)求证： 的周期为 (其中 均为常数，且

　　总结：函数 (其中 均为常数，且的周期T= 。

　　例5、(1)求 的周期。

　　(2)已知 满足 ，求证： 是周期函数

　　课后思考：能否利用单位圆作函数 的图象。

　　六、作业：

　　七、自主体验与运用

　　1、函数 的周期为 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　2、函数 的最小正周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　3、函数 的最小正周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　4、函数 的周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　5、设 是定义域为R,最小正周期为 的函数，若 ，则 的值等于 (

　　)

　　A、1 B、 C、0 D、

　　6、函数 的最小正周期是 ，则

　　7、已知函数 的最小正周期不大于2，则正整数的最小值是

　　8、求函数 的最小正周期为T，且 ，则正整数的最大值是

　　9、已知函数 是周期为6的奇函数，且 则

　　10、若函数 ，则

　　11、用周期的定义分析 的周期。

　　12、已知函数 ，如果使 的周期在 内，求正整数 的值

　　13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移 与时间 之间的函数关系如图所示：

　　(1) 求该函数的周期;

　　(2) 求 时，该质点离开平衡位置的位移。

　　14、已知 是定义在R上的函数，且对任意 有成立，

　　(1) 证明： 是周期函数;

　　(2) 若 求 的值。