不等式的倒数性质

这是不等式的倒数性质，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

不等式的倒数性质第 1 篇

不等式的倒数性质是如果x大于y大于0，那么x的n次幂大于y的n次幂且n为正数，x的n次幂小于y的n次幂，此时n为负数。

一、不等式的倒数性质

不等式就是用大于，小于，大于等于，小于等于连接而成的数学式子。

如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂

二、不等式的基本性质

如果x>y，那么yy；（对称性)

如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。

如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。

如果x>y，z<0，那么xz

如果x>y，m>n，那么x+m>y+n。

如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。

三、不等式的特殊性质

不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

不等式的倒数性质第 2 篇

　　1.理解并掌握不等式的概念及性质;(重点)

　　2.会用不等式表示简单问题的数量关系.(重点、难点)

　　一、情境导入

　　有一群猴子，一天结伴去摘桃子.分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个;如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个.你知道有几只猴子，几个桃子吗?

　　二、合作探究

　　探究点一：不等式

　　【类型一】 不等式的概念

　　下列各式中：①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+xy+y2;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.不等式的个数有(

　　)

　　A.5个 B.4个 C.3个 D.1个

　　解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥，共4个.故选B.

　　方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式.解答此类题的关键是要识别常见不等号：>，<，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

　　【类型二】 用不等式表示数量关系

　　根据下列数量关系，列出不等式：

　　(1)x与2的和是负数;

　　(2)m与1的相反数的和是非负数;

　　(3)a与-2的差不大于它的3倍;

　　(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍.

　　解析：(1)负数即小于0;(2)非负数即大于或等于0;(3)不大于就是小于或等于;(4)不小于就是大于或等于.

　　解：(1)x+2<0;

　　(2)m-1≥0;

　　(3)a+2≤3a;

　　(4)a2+b2≥2ab.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

　　【类型三】 实际问题中的不等式

　　亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑.他现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(

　　)

　　A.20x-55≥350 B.20x+55≥350

　　C.20x-55≤350 D.20x+55≤350

　　解析：此题中的不等关系：现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元.列出不等式20x+55≥350.故选B.

　　方法总结：用不等式表示实际问题中数量关系时，要找准题干中表示不等关系的两个量，并用代数式表示;正确理解题中的关键词，如大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

　　探究点二：不等式的性质

　　【类型一】 比较代数式的大小

　　根据不等式的性质，下列变形正确的是(

　　)

　　A.由a>b得ac2>bc2

　　B.由ac2>bc2得a>b

　　C.由-12a>2得a<2

　　D.由2x+1>x得x<-1

　　解析：A中a>b，c=0时，ac2=bc2，故A错误;B中不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的符号不改变，故B正确;C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边也应乘以-2，故C错误;D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误.故选B.

　　方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

　　【类型二】 把不等式化成“x>a”或“x

　　把下列不等式化成“x>a”或“x

　　(1)2x-2<0;

　　(2)3x-9<6x;

　　(3)12x-2>32x-5.

　　解析：根据不等式的基本性质，把含未知数项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.

　　解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边除以2得x<1;

　　(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9-6x得-3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以-3得x>-3;

　　(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2-32x得-x>-3.根据不等式的基本性质3，两边都除以-1得x<3.

　　方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x>a”或“x

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

　　【类型三】 判断不等式变形是否正确

　　如果不等式(a+1)x1，那么a必须满足________.

　　解析：根据不等式的基本性质可判断，a+1为负数，即a+1<0，可得a<-1.

　　方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

　　三、板书设计

　　1.不等式

　　2.不等式的性质

　　性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变;

　　性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;

　　性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变;

　　性质4：如果a>b，那么b

　　性质5：如果a>b，b>c，那么a>c.

　　本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系.要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“=”，这也是学生容易出错的地方。

不等式的倒数性质第 3 篇

知识点：

不等式的基本性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性；乘法单调性；同向正值不等式可乘性；正值不等式可乘方；正值不等式可开方；倒数法则。

1不等式的基本性质

1.如果x>y，那么yy；（对称性)

2.如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;

4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;

5.如果x>y，z<0，那么xz

6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；

7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；

8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂

视频教学：

练习：

一、选择题

1.[2020·常州] 如果x,那么下列不等式正确的是 (

　　)

A.2x<< span="">2y B.-2x<-< span="">2y

C.x-1>y-1 D.x+1>y+1

2.下列对不等式-3x>1的变形正确的是 (

　　)

A.两边同除以-3,得x>-

B.两边同除以-3,得x<-< span="">

C.两边同除以-3,得x>-3 D.两边同除以-3,得x<-< span="">3

3.已知x,若ax>ay,则a应满足的条件是(

　　)

A.a≥0 B.a≤0

C.a>0 D.a<< span="">0

二、填空题

4.用不等号填空,并说明根据的是不等式的哪一条基本性质:

(1)若x+2>5,则x

　　

　　3,根据不等式的基本性质

　　

　　;

(2)若-

x<-< span="">1,则x

　　　

,根据不等式的基本性质

　　

　　.

5.(1)由mx>n,得x>

,则m

　　

　　0;

(2)由mx>n,得x<< span="">

,则m

　　

　　0.

6已知a＜b，用“＜”或“＞”号填空：

（1）a-3___b-3； (2) 6a____6b；

(3) -a___-b； (4) a-b____0.

7用不等号填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：

（1）若x-1＞2，则x3，根据；

（2）若

＜－2，则x

，根据；

（3）若

x＜－3，则x

，根据.

8若(m-3)x<3-m可化为x>-1，则m.

课件：

不等式的倒数性质第 4 篇

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

　　2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．

　　（二）能力训练点

　　培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．

　　（三）德育渗透点

　　培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．

　　（四）美育渗透点

　　通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质 教学设计方案(二)。

　　二、学法引导

　　1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．

　　2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　（一）重点

　　掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

　　（二）难点

　　正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．

　　（三）疑点

　　弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的`关系是学生学习的疑点．

　　（四）解决办法

　　讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．

　　四、课时安排

　　一课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪或电脑、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．

　　2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．

　　3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．

　　（二）整体感知

　　通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．

　　（三）教学过程

　　1．创设情境，复习引入

　　什么是等式？等式的基本性质是什么？

　　学生活动：独立思考，指名回答．

　　教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．

　　请同学们继续观察习题：

　　（1）用“＞”或“＜”填空．

　　①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）

　　③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）

　　（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？

　　学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．

　　【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．

　　不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．

　　学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．

　　教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”

　　师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．

　　不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

　　对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？

　　学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．

　　【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？

　　师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．

　　不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

　　不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

　　师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．

　　学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．

　　强调：要特别注意不等式基本性质3．

　　实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．

　　不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？

　　学生活动：思考、同桌讨论．

　　归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．

　　①若 ，则 ， ；

　　②若 ，且 ，则 ， ；

　　③若 ，且 ，则 ， ．

　　师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．

　　注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若 ，则 ．②若 ，且 ，则 ，这些先不要向学生说明．

　　2．尝试反馈，巩固知识

　　请学生先根据自己的理解，解答下面习题．

　　例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 或 的形式．

　　（1） （2） （3） （4）

　　学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．

　　教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．

　　解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．

　　所以

　　（2）根据不等式基本性质1，两边都减去 ，得

　　（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得

　　（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得

　　【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与 或 对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．

　　例2 设 ，用“＜”或“＞”填空．

　　（1） （2） （3）

　　学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．

　　解：（1）因为 ，两边都减去3，由不等式性质1，得

　　（2）因为 ，且2＞0，由不等式性质2，得

　　（3）因为 ，且－4＜0，由不等式性质3，得

　　教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．

　　注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．

　　【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．

　　3．变式训练，培养能力

　　（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）

　　①∵ ∴ （ ） ②∵ ∴ （ ）

　　③∵ ∴（ ） ④∵ ∴（ ）

　　⑤∵ ∴ ⑥∵ ∴ （ ）

　　学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．

　　答案：

　　① （A） ② （B）

　　③ （C） ④ （C）

　　⑤ （C） ⑥ （A）

　　【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．

　　（2）单项选择：

　　①由 得到 的条件是（ ）

　　A． B． C． D．

　　②由由 得到 的条件是（ ）

　　A． B． C． D．

　　③由 得到 的条件是（ ）

　　A． B． C． D． 是任意有理数

　　④若 ，则下列各式中错误的是（ ）

　　A． B． C． D．

　　师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．

　　答案：①A ②D ③C ④D

　　（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”

　　①∵ ∴ ( ) ②∵ ∴ ( )

　　③∵ ∴ ( ) ④若，则 ∴，( )

　　学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．

　　答案：①√ ②× ③√ ④×

　　【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．

　　（四）总结、扩展

　　1．本节重点：

　　（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．

　　（2）能正确应用性质对不等式进行变形．

　　2．注意事项：

　　（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．

　　（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．

　　3．考点剖析：

　　不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P61 A组4，5．

　　（二）选做题：P62 B组1，2，3．

　　参考答案

　　（一）4．（1） （2） （3） （4）

　　5．（1） （2） （3） （4）

　　（5） （6）

　　（二）1．（1） （2） （3）

　　2．（1） （2） （3） （4）

　　3．（1） （2） （3）

　　九、板书设计

　　6.1 不等式和它的基本性质（二）

　　一、不等式的基本性质

　　1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

　　若 ，则 ， ．

　　2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若 ， ，则 ．

　　3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若 ， ，则 ．

　　二、应用

　　例1 解（1）（2）

　　（3）（4）

　　例2 解（1）（2）

　　（3）

　　三、小结

　　注意不等式性质3的应用．

　　四、背景知识与课外阅读

　　盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的 ，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？