高一不等式典型例题

这是高一不等式典型例题，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

高一不等式典型例题第 1 篇

高一数学不等式经典例题与解析

例1 解下列不等式

(1)(x-1)(3-x)<5-2x

(2)x(x+11)≥3(x+1)2

(3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)

分析 将不等式适当化简变为ax2+bx+c>0(<0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成).

答 (1){x|x<2或x>4}

解关于x的不等式

(x-2)(ax-2)>0.

分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论.

解 1° 当a=0时，原不等式化为

x-2<0其解集为{x|x<2};

当a=1时，原不等式化为(x-2)2>0，其解集是{x|x≠2};

从而可以写出不等式的解集为：

a=0时，{x|x<2｝;

a=1时，{x|x≠2};

说明：讨论时分类要合理，不添不漏.

高一数学不等式经典例题与解析

例2 若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α

分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使用韦达定理：

解法一 由解集的特点可知a<0，根据韦达定理知：

∵a<0，∴b>0，c<0.

解法二 ∵cx2+bx+a=0是ax2+bx+a=0的倒数方程.

且ax2+bx+c>0解为α

说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维.

分析 将一边化为零后，对参数进行讨论.

进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0.

(1)当a>0时，不等式化为

(2)a=0时，不等式化为x-1<0，即x<1，所以不等式解集为{x|x<1};

一数学不等式经典例题与解析

例3 绝对值大于2且不大于5的最小整数是

[ ]

A.3 B2

C.-2 D5

分析 列出不等式.

解 根据题意得2<|x|≤5.

从而-5≤x<-2或2

答 选D.

例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________.

分析 利用所学知识对不等式实施同解变形.

解 原不等式可化为4<|3x-1|≤7，即4<3x-1≤7或-7

例4 已知集合A={x|2<|6-2x|<5，x∈N}，求A.

分析 转化为解绝对值不等式.

解 ∵2<|6-2x|<5可化为

2<|2x-6|<5

因为x∈N，所以A={0，1，5}.

说明：注意元素的限制条件.

高一不等式典型例题第 2 篇

高一数学不等式经典例题与解析

例5 实数a，b满足ab<0，那么

[ ]

A.|a-b|<|a|+|b|

B.|a+b|>|a-b|

C.|a+b|<|a-b|

D.|a-b|<||a|+|b||

分析 根据符号法则及绝对值的意义.

解 ∵a、b异号，

∴ |a+b|<|a-b|.

答 选C.

例6 设不等式|x-a|

[ ]

A.a=1，b=3

B.a=-1，b=3

C.a=-1，b=-3

分析 解不等式后比较区间的端点.

解 由题意知，b>0，原不等式的解集为{x|a-b

答 选D.

说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.

高一不等式典型例题第 3 篇

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a?bc,d?，则a?c?b?d（若a?b,c?d，则a?c?b?d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则

ac?bd

）；

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则an?

bn或?

4．若ab?0，a?b，则

1a?1b

；若ab?0，a?b，则

1a

?

1b

。如

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若a?b,则ac2?bc2； ②若ac2?bc2,则a?b； ③若a?b?0,则a2?ab?b2； ④若a?b?0,则⑤若a?b?0,则

ba?ab

1a?1b

；

； ⑥若a?b?0,则a?b；

a

?

bc?b

⑦若c?a?b?0,则

c?a

； ⑧若a?b,

1a

?

1b

，则a?0,b?0。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______

（答：1?3x?y?7）； （3）已知a?b?c，且a?b?c?0,则

ca

的取值范围是______

（答：??2,??）

?

2?

?

1?

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设a?0且a?1,t?0，比较logat和log

21

t?1

a

2

的大小

（答：当a?1时，

12

logat?loga

t?12

12

logat?loga

t?12

（t?1时取等号）；当0?a?1时，

（t?1时取等号））；

1a?2

（2）设a?2，p?a?，q?2?a

2

?4a?2

，试比较p,q的大小

（答：p?q）；

（3）比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小 （答：当0?x?1或x?

2logx2；当x?

43

43

时，1+logx3＞2logx2；当1?x?

43

时，1+logx3＜

时，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积

最大，积定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是 A、y?x?

2

1x

的最小值是2 的最小值是2

4x4x

(x?

0)的最大值是2?(x?

0)的最小值是2? B

、y?

x?3 C、y?2?3x? D、y?2?3x?

（答：C）；

（2）若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______

（答：）；

（3）正数x,y满足x?2y?1，则

1x?1y

的最小值为______

（答：3?）；

4.常用不等式有：（1

??

2

?

?ab

(根据目标不等式左右

的运算结构选用) ；（2）a、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；（3）若a?b?0,m?0，则

b

a

如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab

?b?ma?m

（糖水的浓度问题）。如

的取值范围是_________

（答：?9,???）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：?

n1

1n?1

?

1n(n?1)

?1n

2

?

1n(n?1)

?

1n?1

?

1n

?

?

?

?如（1）已知a?b?c，求证：a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2 ； (2) 已知a,b,c?R，求证：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)； （3）已知a,b,x,y?R?，且(4)若

a?l2

b?

1a?1b,x?y

，求证：

xx?a

?

yy?b

；

a、b、c

?b?2

c?

是不全相等的正数，求证：

lg

lg

ca

l?ga?b?lgc； 2

（5）已知a,b,c?R，求证：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)； (6)若n?

N*(n?

1)?(7)已知|a|?|b|，求证：（8）求证：1?

12

2

n；

|a|?|b||a?b|

1n

2

?

|a|?|b||a?b|

；

?

13

2

????2

。

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次

因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。

（答：{x|x?1或x??2}）；

（2）

不等式(x??0的解集是____

（答：{x|x?3或x??1}）；

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)?g(x)?0的解集为______

（答：(??,1)?[2,??)）； （4）要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值

至少满足不等式x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是______.

（答：[7,

818)

）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通

分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

5?xx?2x?3

2

??1

（答：(?1,1)?(2,3)）；

（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式

ax?bx?2

?0的解集为____________

（答：(??,?1)?(2,??)）.

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2?（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3

（答：(??,?1)?(2,??)）

（4）两边平方：如

若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。

（答：{）

34

34

2

（答：x?R）； x|?2?|x?

1|

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分

类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如

（1）若loga

23

?1，则a的取值范围是__________

23

（答：a?1或0?a?（2）解不等式

ax

2

）；

ax?1

?x(a?R)

1a

a?0时，a?0时，{x|x?（答：{x|x?0}；a?0时，{x|或x?0}；

1a

?x?0}

或x?0}）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）

不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax?b?0 的解集为(??,1)，则不等式

x?2ax?b

?0

的解集为

__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.

如设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1，求证：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1) 十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方

式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题

若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A

若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B 如（1）设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______

1,???）（答：；

（2）不等式x?4

?x?3?a

对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____

（答：a?1）； （3）若不等式2x?1?m(x2?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围_____

（答：（

（4）若不等式(?1)a?2?

n

7?12

,

3?12

））；

(?1)n

n?1

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取

32

值范围是_____

（答：[?2,)）；

（5）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的

取值范围.

（答：m??

12

）

2). 能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上

f?x?max?A；

若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的

f

?x?min?

B.如

x?4?x?3?a

已知不等式范围____

在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值

（答：a?1）

3). 恰成立问题

若不等式f?x??A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??A的解集为D；

若不等式f?x??B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??B的解集为D.

高一不等式典型例题第 4 篇

一．基本不等式

a2?b2

1.（1）若a,b?R，则a?b?2ab (2)若a,b?R，则ab?（当且仅当a?b时取“=”）

2

a?b**

2. (1)若a,b?R，则” ?ab (2)若a,b?R，则a?b?2ab（当且仅当a?b时取“=）

2

2

2

a?b?

(3)若a,b?R，则ab??” ?? (当且仅当a?b时取“=）

2??

*

2

3.若x?0，则x?

11

”;若x?0，则x???2 (当且仅当x??1时取“=）” ?2 (当且仅当x?1时取“=）

xx

若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2 (当且仅当a?b时取“=）” xxx3.若ab?0，则a?b?2 (当且仅当a?b时取“=）” ba若ab?0，则

ababab

” ??2即??2或??-2 (当且仅当a?b时取“=）

bababa

a?b2a2?b2

4.若a,b?R，则(（当且仅当a?b时取“=）” )?

22

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的

积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域

1

1 （2）y＝x＋

（1）y＝3x 2＋

2x 2x

解：（1）y＝3x 2＋

≥2x 2

1

3x 2·

2x 2

1

6 ∴值域为6 ，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋≥x

1

1

x· ＝2； x

1

x =－2 x

11

当x＜0时， y＝x= －（－ x－ ）≤－2

xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x?

5

，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5

1

解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又(4x?2)不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，

4x?5

511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1

44x?55?4x??

当且仅当5?4x?

1

，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 5?4x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当解析：由

时，求y?x(8?2x)的最大值。 知，

，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子

积的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8为定值，故只需将y?x

(8?2x)凑上一个系数即可。

当

，即x＝2时取等号 当x＝2时，y?x(8?2x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 变式：设0?x?

3

，求函数y?4x(3?2x)的最大值。 2

2

32x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???

222??

当且仅当2x?3?2x,即x?

3?3?

??0,?时等号成立。 4?2?

技巧三： 分离

x2?7x?10

(x??1)的值域。 例3. 求y?

x?1

解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（

x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时

,y?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t?1)2(来自: 小龙 文档 网:高中数学不等式相关)?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

当,即t=时

,y?5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

g(x)

a

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?的单调性。

x

值。即化为y?mg(x)?例：求函数y?

2的值域。

?t(t?

2)，则y?

2?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。 因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?所以，所求函数的值域为?,???。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

1

t1t

1t5。 2

?5?2??

11x2?3x?1

,x?(0,?) ,x?3 (3)y?2sinx?,(x?0) （2）y?2x?（1）y?

sinxxx?3

2．已知0?x?

1，求函数y?条件求最值

1.若实数满足a?b?2，则3?3的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3?3定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

abab

解： 3和3都是正数，3?3≥23?3?23

a

b

a

b

a

b

a?b

的最大值.；3．0?x?

2，求函数y?.

3

ab

ab

?6

a

b

当3?3时等号成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即当a?b?1时，3?3的最小值是6．

11

变式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x?0,y?0，且

19

??1，求x?y的最小值。 xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12 故 ?x?y?min?12 。

xyxy??

错解：?x?0,y?0，且．．

错因：解法中两次连用基本不等式，在x?y?等号成立条件是x?

y，在1?9?x

y

条件是

19

?即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出xy

等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

?19?y9x19

正解：?x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

19y9x

?当且仅当时，上式等号成立，又??1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16 。

xyxy

变式： （1）若x,y?R且2x?

?

y?1，求1?1的最小值

x

y

?

(2)已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?

xy

y的最小值

技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋

y 2

2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

1

221＋y 中y前面的系数为 ， x

212

a 2＋b 2

2

。

1＋y 22· 2

12

同时还应化简1＋y 2 ＝x 2 x·＋

y 2

2

下面将x ＋

y 2

2

分别看成两个因式：

1y 2

＋ )2222

＝

y 21

x 2＋

22

2

x·

1

＋ ≤22

y 2

x 2＋(

＝即x

4

3

1＋y 2 ＝2 ·x

12

＋

y 2

2

≤

34

2

1

技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

ab

的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a＝ ，ab＝ ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋ ）＋34∵t≥2

16

t· ＝8

tttt

∴ ab≤18 ∴ y≥

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18

2 ab∴ 30－ab≥2

2 ab

1

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥令u＝ab则u2＋22 u－30≤0， －2 ≤u≤2

181

ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式

a?b

（a,b?R?）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等?ab

2

?

（a,b?R）式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想到不等

式

a?b

（a,b?R?），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. ?ab

2

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W3x 2y 的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

a＋b

2

≤

a 2＋b 2

2

，本题很简单