平面向量及其应用知识点总结

这是平面向量及其应用知识点总结，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平面向量及其应用知识点总结第 1 篇

　　一、教学过程

　　1．复习。

　　反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。

　　求出函数y＝x3的反函数。

　　2．新课。

　　先让学生用几何画板画出y＝x3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。有部分学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象（图1）：

　　教师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反应。

　　生2：这是y＝x3的反函数y＝的图象。

　　师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。

　　（学生展开讨论，但找不出原因。）

　　师：我们请生1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。

　　（生1将他的制作过程重新重复了一次。）

　　生3：问题出在他选择的次序不对。

　　师：哪个次序？

　　生3：作点Ｂ前，选择xA和xA3为Ｂ的坐标时，他先选择xA3，后选择xA，作出来的点的坐标为（xA3，xA），而不是（xA，xA3）。

　　师：是这样吗？我们请生1再做一次。

　　（这次生1在做的过程当中，按xA、xA3的次序选择，果然得到函数y＝x3的图象。）

　　师：看来问题确实是出在这个地方，那么请同学再想想，为什么他采用了错误的次序后，恰好得到了y＝x3的反函数y＝的图象呢？

　　（学生再次陷入思考，一会儿有学生举手。）

　　师：我们请生4来告诉大家。

　　生4：因为他这样做，正好是将y＝x3上的点Ｂ（x，y）的横坐标x与纵坐标y交换，而y＝x3的反函数也正好是将x与y交换。

　　师：完全正确。下面我们进一步研究y＝x3的图象及其反函数y＝的图象的.关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系？

　　（多数学生回答可由y＝x3的图象得到y＝的图象，于是教师进一步追问。）

　　师：怎么由y＝x3的图象得到y＝的图象？

　　生5：将y＝x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y＝的图象。

　　师：将横坐标与纵坐标互换？怎么换？

　　（学生一时未能明白教师的意思，场面一下子冷了下来，教师不得不将问题进一步明确。）

　　师：我其实是想问大家这两个函数的图象有没有对称关系，有的话，是什么样的对称关系？

　　（学生重新开始观察这两个函数的图象，一会儿有学生举手。）

　　生6：我发现这两个图象应是关于某条直线对称。

　　师：能说说是关于哪条直线对称吗？

　　生6：我还没找出来。

　　（接下来，教师引导学生利用几何画板找出两函数图象的对称轴，画出如下图形，如图2所示：）

　　学生通过移动点A（点B、C随之移动）后发现，BC的中点M在同一条直线上，这条直线就是两函数图象的对称轴，在追踪M点后，发现中点的轨迹是直线y＝x。

　　生7：y＝x3的图象及其反函数y＝的图象关于直线y＝x对称。

　　师：这个结论有一般性吗？其他函数及其反函数的图象，也有这种对称关系吗？请同学们用其他函数来试一试。

　　（学生纷纷画出其他函数与其反函数的图象进行验证，最后大家一致得出结论：函数及其反函数的图象关于直线y＝x对称。）

　　还是有部分学生举手，因为他们画出了如下图象（图3）：

　　教师巡视全班时已经发现这个问题，将这个图象传给全班学生后，几乎所有人都看出了问题所在：图中函数y＝x2（x∈R）没有反函数，②也不是函数的图象。

　　最后教师与学生一起总结：

　　点（x，y）与点（y，x）关于直线y＝x对称；

　　函数及其反函数的图象关于直线y＝x对称。

　　二、反思与点评

　　1．在开学初，我就教学几何画板4。0的用法，在教函数图象画法的过程当中，发现学生根据选定坐标作点时，不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序，本课设计起源于此。虽然几何画板4。04中，能直接根据函数解析式画出图象，但这样反而不能揭示图象对称的本质，所以本节课教学中，我有意选择了几何画板4。0进行教学。

　　2．荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习过程当中，可借助于生动直观的形象来引导人们的思想过程，但常常由于图形或想象的错误，使人们的思维误入歧途，因此我们既要借助直观，但又必须在一定条件下摆脱直观而形成抽象概念，要注意过于直观的例子常常会影响学生正确理解比较抽象的概念。

　　计算机作为一种现代信息技术工具，在直观化方面有很强的表现能力，如在函数的图象、图形变换等方面，利用计算机都可得到其他直观工具不可能有的效果；如果只是为了直观而使用计算机，但不能达到更好地理解抽象概念，促进学生思维的目的的话，这样的教学中，计算机最多只是一种普通的直观工具而已。

　　在本节课的教学中，计算机更多的是作为学生探索发现的工具，学生不但发现了函数与其反函数图象间的对称关系，而且在更深层次上理解了反函数的概念，对反函数的存在性、反函数的求法等方面也有了更深刻的理解。

　　当前计算机用于中学数学的主要形式还是以辅助为主，更多的是把计算机作为一种直观工具，有时甚至只是作为电子黑板使用，今后的发展方向应是：将计算机作为学生的认知工具，让学生通过计算机发现探索，甚至利用计算机来做数学，在此过程当中更好地理解数学概念，促进数学思维，发展数学创新能力。

　　3．在引出两个函数图象对称关系的时候，问题设计不甚妥当，本来是想要学生回答两个函数图象对称的关系，但学生误以为是问如何由y＝x3的图象得到y＝的图象，以致将学生引入歧途。这样的问题在今后的教学中是必须力求避免的。

平面向量及其应用知识点总结第 2 篇

　　第一章：空间几何体

　　1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

　　（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

　　（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

　　（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

　　2．过程与方法

　　（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

　　（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

　　（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

　　二、教学重点、难点

　　重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

　　难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

　　三、教学用具

　　（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

　　（2）实物模型、投影仪

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭示课题

　　1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。

　　2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

　　（二）、研探新知

　　1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

　　2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？

　　3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。

　　4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

　　5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

　　6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

　　7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。

　　8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。

　　9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。

　　10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

　　（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。

　　1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）

　　2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

　　3．课本P8，习题1.1 A组第1题。

　　4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

　　5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？

　　四、巩固深化

　　练习：课本P7 练习1、2（1）（2）

　　课本P8 习题1.1 第2、3、4题

　　五、归纳整理

　　由学生整理学习了哪些内容

　　六、布置作业

　　课本P8 练习题1.1 B组第1题

　　课外练习 课本P8 习题1.1 B组第2题

　　1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）掌握画三视图的基本技能

　　（2）丰富学生的空间想象力

　　2．过程与方法

　　主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）提高学生空间想象力

　　（2）体会三视图的作用

　　二、教学重点、难点

　　重点：画出简单组合体的三视图

　　难点：识别三视图所表示的空间几何体

　　三、学法与教学用具

　　1．学法：观察、动手实践、讨论、类比

　　2．教学用具：实物模型、三角板

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭开课题

　　“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

　　在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的.三视图吗？

　　（二）实践动手作图

　　1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;

　　2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图

　　（1）画出球放在长方体上的三视图

　　（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图

　　学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。

　　作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

　　3．三视图与几何体之间的相互转化。

　　（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）

　　请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？

　　（2）你能画出圆台的三视图吗？

　　（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？

　　教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。

　　4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。

　　（三）巩固练习

　　课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1

　　（四）归纳整理

　　请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

　　（五）课外练习

　　1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。

　　2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。

　　1.2.2 空间几何体的直观图（1课时）

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

　　（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

　　2．过程与方法

　　学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）提高空间想象力与直观感受。

　　（2）体会对比在学习中的作用。

　　（3）感受几何作图在生产活动中的应用。

　　二、教学重点、难点

　　重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

　　三、学法与教学用具

　　1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。

　　2．教学用具：三角板、圆规

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭示课题

　　1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱

　　把实物圆柱放在讲台上让学生画。

　　2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。

　　（二）研探新知

　　1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

　　画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

　　练习反馈

　　根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。

　　2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

　　教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。

　　教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。

　　3．探求空间几何体的直观图的画法

　　（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。

　　教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。

　　（2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

　　4．平行投影与中心投影

　　投影出示课本P17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。

　　5．巩固练习，课本P16练习1（1），2，3，4

　　三、归纳整理

　　学生回顾斜二测画法的关键与步骤

　　四、作业

　　1．书画作业，课本P17 练习第5题

平面向量及其应用知识点总结第 3 篇

　　教学准备

　　教学目标

　　1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;

　　2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;

　　3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;

　　教学重难点

　　教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

　　教学难点：理解向量加法的定义.

　　教学工具

　　投影仪

　　教学过程

　　一、设置情景：

　　1、 复习：向量的定义以及有关概念

　　强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

　　从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

　　三、应用举例：

　　例二(P94—95)略

　　练习：P95

　　四、小结

　　1、向量加法的几何意义;

　　2、交换律和结合律;

　　3、注意：当且仅当方向相同时取等号.

　　五、课后作业：

　　P103第2、3题

　　课后小结

　　1、向量加法的几何意义;

　　2、交换律和结合律;

　　3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号.

　　课后习题

　　作业：

　　P103第2、3题

　　板书

　　略

平面向量及其应用知识点总结第 4 篇

　　教学课时：第一课时（共一课时）

　　教学分析：

　　学生在已经学习了向量的线性运算及坐标运算的基础上，初步具备了使用向量工具解决问题的能力，本节课的主要目的是进一步让学生加深对向量的认识，更好的体会向量这个工具的优越性，对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”，这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于他们之间的运算进行分析解决，然后把这些计算结果再次转化成关于点、线、面的相应结果，从而得到相应的几何关系.

　　教学目标：

　　知识与技能方面：

　　通过平行四边形这个几何模型，力这个物理量，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题及物理问题的思路步骤.

　　情感与价值方面：

　　通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题及物理问题中的优越性，发散学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习兴趣.

　　教学重难点：

　　平面向量在平面几何及物理问题中的应用.

　　要点一：向量在平面几何中的应用

　　向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：

　　（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量的多边形法则.

　　（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常常转化为向量平行（共线），转化方式主要有：数乘向量及坐标运算，.

　　要点二：向量在物理中的应用

　　（1）利用向量知识来解决物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题即数学建模思想；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解决有关物理问题.

　　（2）明确两个常见物理问题的向量转化方式：

　　力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；

　　（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量线性运算来解决向量问题；三是把向量问题结果转化为物理问题结论.

　　四、教学过程：

　　新课讲授：

　　师：问题1：尝试与发现：

　　在四边形ABCD中，若，且，则该四边形的形状是什么？

　　生：独立思考，学生自行解决。

　　设计意图：通过平行四边形这个例子，引导学生思考平面向量在平面几何中的应用解决思

　　路。

　　师：请同学们思考完成规律总结填空

　　向量方法解决平面几何问题的步骤：

　　（1）建立平面几何与向量的联系，用________表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_____________；

　　（2）通过____________研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

　　（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

　　生：学生思考回答。

　　师：思考完成例题1

　　例1：如图所示，MN是三角形ABC的中位线

　　求证：

　　生：思考独立完成。

　　师：教师提问学生解题思路，板演解题过程。

　　师：思考解决变式题，叫学生上黑板完成。

　　变式：设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点

　　试用向量证明：。

　　设计意图：观察学生解题步骤情况。

　　生：独立完成。

　　师：补充完善解题过程。

　　师：思考完成例题2

　　例2：三角形ABC是等腰直角三角形，

　　D是BC边的中点，延长BE交AC于F

　　连接DF，求证：

　　生：思考独立完成。

　　设计意图：让学生理解平面向量在解决角的问题中的应用。

　　师：规律总结向量在平面几何中的应用

　　向量在平面几何中的应用

　　（1） 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算解决平面几何中的平行、平移、全等、相似、长度等问题.

　　（2） 用向量解决常见平面几何的问题技巧

　　师：问题2：解决尝试与发现

　　一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知成90°角，且的大小分别为2和4，则的大小为？

　　生：独立解决。

　　设计意图：引导学生思考解决向量在物理中的应用的一般解决思路。

　　师：师生共同总结解决思路。

　　由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法和减法

　　相似，因此可以用向量的知识来解决.

　　师：思考完成例题3

　　例3：一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受重力大小为50N，求每条绳上的拉力大小.

　　生：独立解决并实物投影展示。

　　设计意图：进一步强化向量在物理中的应用解决思路

　　师：补充完善解决，并小结一般性解决思路。

　　师：请同学们总结本节课所学内容并小结。

　　生：小组合作完成并展示

　　师：教师补充完善。

　　1.知识清单：

　　（1）向量在平面几何中的应用

　　（2）向量在物理中的应用

　　2.方法归纳：

　　转化思想

　　课堂作业：

　　1. 习题6-3A2.3

　　2. 习题6-3B3.5

　　课堂小结：

　　1. 向量在平面几何中的应用

　　2. 向量在物理学中的应用