复数的概念教学准备

这是复数的概念教学准备，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数的概念教学准备第 1 篇

　　教学课时：共2课时（第1课时）

　　教学目标：

　　1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

　　2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

　　3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

　　教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

　　教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

　　教学过程：

　　一、情境与问题

　　问题1：

　　设复数在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量？

　　问题2：

　　记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出的任意一个值．

　　问题3：

　　小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

　　【学生活动】：

　　1、阅读教材43页尝试与发现．

　　2、回答文章中提出的问题．

　　3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

　　【设计意图】：

　　引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

　　二、新知探究

　　问题1：

　　是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、表示复数？

　　【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系．

　　【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系，将推广到z=a+bi．

　　问题2：

　　复数三角形式的定义是什么？

　　【学生活动】

　　尝试总结复数三角形式的定义．

　　【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

　　复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ为复数z的辐角．

　　问题3：

　　辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

　　以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2的整数倍．[0，2）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

　　【学生活动】思考并讨论．

　　【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

　　问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

　　【学生活动】学生思考并总结．

　　【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

　　三、例题示范

　　例1（教材44页例1）

　　考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

　　思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

　　解：（1）；

　　（2）；

　　（3）．

　　解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

　　例2：（教材48页习题10-3A第一题）

　　把下列复数化为代数形式．

　　

　　考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

　　思路分析：打开括号，直接整理即可．

　　解：

　　

　　解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

　　四、知能训练

　　1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

　　考查意图：复数的辐角

　　

　　2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

　　考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

　　

　　五、归纳总结

　　1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

　　2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

　　3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

　　4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

　　5、作业建议：

　　48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

　　49页习题10-3B第2题

复数的概念教学准备第 2 篇

知识点：

一、三角运算：

复数除法

复数乘法

其实，这个结论也不难验证，用代数形式化简就可以的。

但是，这个结论的意义又是不一般的，它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。

而且，由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。

当然，复数的加减运算，按照三角形或平行四边形法则，可是不具备如此好的性质的。

但它和向量一样，也有下面这个不等关系：

视频教学：

练习：

1．复数cosπ6－isinπ6的辐角主值为(

　　)

A． － π6

　　

　　

　　 B．π6

C． 5π6 D． 11π6

2．下列复数是复数的三角形式的是(

　　)

A． －3as4alco1(cos(ππ12) B．3as4alco1(cos(ππ12)

C． cosπ3＋isinπ4 D． cos5π6＋isin5π6

3．把复数－33＋3i化为三角形式为(

　　)

A．6as4alco1(cos(ππ6) B．6as4alco1(cos(5π5π6)

C．6as4alco1(cos(7π7π6) D．6as4alco1(cos(11π11π6)

4．设z1＝cosπ4＋isinπ4，z2＝3as4alco1(cos(5π5π12)，则z1·z2＝(

　　)

A． 32＋3)2i B．32－3)2i

C． －32＋3)2i D．－32－3)2i

5．设z1＝4as4alco1(cos(7π7π12)，z2＝cos11π12＋isin11π12，则z1z2＝(

　　)

A． 2＋23i B．－2＋23i

C． －2－23i D．2－23i

课件：

教案：

教材分析

复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物，其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.

教学目标与核心素养

课程目标：

1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；

2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.

数学学科素养

1.数学运算：复数的三角形式乘、除运算;

2.直观想象：复数的三角形式乘、除运算的几何意义;

3.数学建模：结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用，培养学生对数学的学习兴趣.

教学重难点

重点：复数三角形式的乘除运算．

难点：复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

教学过程

一、情景导入

复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘、除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本86-89页，思考并完成以下问题

1、复数的三角形式乘、除运算如何进行？

2、复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1、复数三角形式的乘法及其几何意义

设的三角形式分别是：

简记为 ：模数相乘，幅角相加

几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

2、复数三角形式的除法及其几何意义

设的三角形式分别是：

简记为 ：模数相除，幅角相减

几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．

四、典例分析、举一反三

题型一 复数的三角形式乘法运算

例1已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.

【答案】;详见解析

【解析】

首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量（如图）.即为积所对应的向量.

解题技巧（复数的三角形式乘法运算的注意事项）

两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加.

跟踪训练一

1．计算下列各式：

（1）；

（2）；

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）.

（2）

题型二 复数的三角形式除法运算

例2计算.

【答案】

【解析】原式.

解题技巧： (复数的三角形式除法运算的注意事项)

两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角。简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减.

跟踪训练二

1．计算下列各式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）

（2）

题型三 复数的三角形式乘、除运算的几何意义

例3如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.

【答案】

【解析】 向量对应的复数为

解题技巧（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项）

复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．

跟踪训练三

1．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.

【答案】逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：；按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为

【解析】将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：

将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本89页练习，89页习题7.3的剩余题.

教学反思

本节课主要复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义三种题型对本节课知识进行讲解，由于本节课知识规律性比较强，所以学生掌握起来比较快捷.但是再理解其几何意义时，旋转方向是学生易忽略的地方，需多强调.

复数的概念教学准备第 3 篇

第一部分内容：内容标准

1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示．

2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义．

3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.

... ... ...

复数的三角表示PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点　复数的三角表示式

预习教材，思考问题

(1)如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?

(2)我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量OZ→＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量OZ→的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？

知识梳理　(1)复数的辐角：以x轴的非负半轴为始边，____________为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．我们规定在______范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，即______ .

(2)复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成______的形式．其中，r是复数的______；θ是复数z＝a＋bi的辐角．______ 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，______ 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们的______与______分别相等．

[自主检测]

1．复数1＋3i化成三角形式，正确的是(

　　)

A．2(cos 2π3＋isin 2π3)

B．2(cos π3＋isin π3)

C．2(cos 5π3＋isin 5π3)

D．2(cos 11π6＋isin 11π6)

2．复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是(

　　)

A．80°

　　B．100°

C．190° D．260°

... ... ...

复数的三角表示PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究

探究一　复数的三角形式

[例1]　下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；

(2) z2＝2(cos π5－isin π5)；

(3) z3＝－sin θ＋icos θ .

(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cos π5，－2sin π5)在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－π5”或“－π5”变换到第四象限．

所以z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[cos(－π5)＋isin (－π5)]或z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[(cos(2π－π5)＋isin (2π－π5)]＝2(cos 9π5＋isin9π5)，考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．

(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ”将θ变换到第二象限．

所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (π2＋θ)＋isin (π2＋θ) .

方法提升

复数三角形式的判断依据和变形步骤

(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.

探究二　复数的代数形式表示成三角形式

[例2]　画出下列复数对应的向量，指出它们的模和辐角的主值，并把这些复数表示成三角形式：

(1)3i；(2)－10；(3)2－2i ；(4) －1＋3i.

(2)复数－10对应的向量如图所示，

则模r＝10，对应的点在x轴的负半轴上，所以arg(－10)＝π.所以－10＝10(cos π＋isin π)．

方法提升

复数的代数形式化三角形式的步骤

(1)先求复数的模；

(2)决定辐角所在的象限；

(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；

(4)写出复数的三角形式．

探究三　把复数表示成代数形式

[例3]　分别指出下列复数的模和一个辐角，并把这些复数表示成代数形式：

(1)10(cos π3＋isinπ3)；

(2)14(cos 5π6＋isin5π6)；

(3)2(cos 45°－isin 45°)．

方法提升

1．类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

2．由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．

... ... ...

复数的三角表示PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优

复数的三角形式

逻辑推理、数学运算

在求复数的三角形式时，需要进行复杂的三角恒等变换，在变换时一定要根据复数三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连，确定判断的依据和变形的方向．只要角的范围在[0,2π]即可．

[素养提升]　1.在表示复数的三角形式时，要严格套用复数三角形式的四个结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

2．注意复数辐角的主值范围[0,2π).

复数的概念教学准备第 4 篇

教学设计

教材分析

复数的三角形式乘、除运算的三角表示是对其代数形式乘除运算数形结合的产物，其几何意义充分揭示了其平面图形的变化规律.本节教材内容主要就复数的三角形式乘、除运算及其几何意义进行基本阐述.

教学目标与核心素养

课程目标：

1.掌握会进行复数三角形式的乘除运算；

2.了解复数的三角形式乘、除运算的三角表示的几何意义.

数学学科素养

1.数学运算：复数的三角形式乘、除运算;

2.直观想象：复数的三角形式乘、除运算的几何意义;

3.数学建模：结合复数的三角形式乘、除运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用，培养学生对数学的学习兴趣.

教学重难点

重点：复数三角形式的乘除运算．

难点：复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.