分式的混合运算学案

这是分式的混合运算学案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

分式的混合运算学案第 1 篇

知识总结归纳：

1. 分式的乘除法法则

ab?cd?acbd

；

ab

?

cd

?

ab

?

dc

?

adbc

当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法

（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是：

①取各分母系数的最小公倍数；

②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则：

ac?bc?a?bc

。

（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则：()?n（n为正整数）

bb

4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：

（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；

（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的'分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算 例1：计算

x?x?2x?x?6

22

a

n

a

n

?

x?x?6x?x?2

2

2

的结果是（ ）

A.

x?1x?3

B.

x?1x?9

C.

x?1x?9

2

2

D.

x?1x?3

2

2

分析：

(x?2)x(?1)x(?

?(x?3)x(?2)x(?

2x)?(3x)?(

1)x?(2)x?(x1?)(

x3?)(

22

x1)?

x3)?

19

故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

*例2：已知abc?1，求

aab?a?1

?

bbc?b?1

?

cac?c?1

的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式? ?

aab?a?1

aab?a?1

??

ababc?ab?a

ab1?ab?a

nm???

abcabc?abc?ababca?1?abmm?n

?

?1 )的值。

a?ab?1ab?a?1nm?

m

例3：已知：2m?5n?0，求(1?)?(1?

m?n

分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：(1?

?

nm?

mm?n

)?(1?

nm?

mm?n

)

m(m?n)?n(m?n)?m

m(m?n)?nm(m?n)

?

m(m?n)?n

?

?

m(m?n)?n(m?n)?m

m(m?n)

?

m?nm?n

5

故原式?2

5

aba?b

13

bcb?c

n?n

?

72

n?

32

n?

73

* 例4：已知a、b、c为实数，且

的值是多少？

?，?

2

1

4

n?n

，

cac?a

?

15

，那么

abcab?bc?ca

分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得： 所以2( 又因为

1a?1b?1c

1a?1b?3，

1b?1a1c??4，1b?1c1c?1a?5

)?12 即

?1c?1b?1a

?6

abcab?bc?ca

?16

ab?bc?ca

abc

?6 所以

例5：化简：(

x?1x?2

3

3

?

x?1x?2

2

)?

x?4x?1

2

2

(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)(x?2)(x?2)

解一：原式? ?

(x?2)(x?2)x?1

???

x?3x?2x?4

x?1

24

3

2

?

(x?x)?3(x?1)?(x?1)

x?1

2

4232

x(x?1)(x?1)?3(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)

x?1

(x?1)(x?x?3x?3x?3?x?1)

x?1

3

23

2

2

?x?2x?4x?4

(x?1)(x?x?1)(x?2)(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)

解二：原式? ???

x?2x?1x?2x?1

?(x?x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)

2

2

?x?x?x?2x?2x?2?x?3x?2

?x?2x?4x?4

3

2

3222

说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次

多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。 例1（2000·北京朝阳）计算：1?

n?mm?2n

?

m?n

2

2

2

2

m?4mn?4n

解：

m?2nm?n

m?n?m?2n

m?n

3nm?n

?1???

说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。 例2（2001·内蒙呼和浩特） 已知：

Mx?y

2

2

?

2xy?yx?y

2

2

2

?

x?yx?y

，则M?_________。

?

2xy?y?x?2xy?y

x?y

2

2

222

?

x

2

2

2

x?y

?

Mx?y

2

2

?M?x2

说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。 例1：计算：[

1(a?b)

2

?

1(a?b)

2

]?(

1a?b

?

1a?b

)

解一：原式?

(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)

?4ab(a?b)(a?b)1a?b

?

1a?b

2

2

22

22

?

a?b?a?b(a?b)(a?b)

?

??

(a?b)(a?b)

?2b1

?

1a?b

2a(a?b)(a?b)1a?b

?

1a?b

)

?

2aa?b

2

2

解二：原式?( ?

)(

a?b

)?(

1a?b

?

1a?b

?

a?b?a?b(a?b)(a?b)

?

2aa?b

2

2

说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。 例2：若a?b?3ab，则(1?

12

2

2

2b

3

3

a?b

)?(1?3

2ba?b

)的值等于（ ）

A. B. 0

3

3

C. 1

3

D.

23

解：原式?

a?b?2ba?b

a?b

23

3

33

?

ahttp://https://www.unjs.com/news/55BB64658DC3371E.html?b?2ba?b

2

2

(a?b)(a?ab?b)a?b

?3???322

a?ba?b(a?b)(a?ab?b)a?b?

a?ab?ba?ab?b

2

22

a?b

故选A

?

3ab?ab3ab?ab

?

2ab4ab

?

12

[基本练习]

1. 已知：a?b?2，ab??5，则 A. ?

25

ab1951

?

ba

的值等于（ ） D. ?

245

B. ?

145

C. ?

2. 已知x2?16x?1?0，求x3? 3. 计算：

1x

2

x

3

的值。

?

1x

2

?3x?2

11112222

?

1x?5x?6

2

?7x?12

?

1x

2

?9x?20

* 4. 若A?

99999999

?1?1

，B?

99999999

22223333

?1?1

，试比较A与B的大小。

1a

1b

1c

*5. 已知：a?b?c?0，abc?8，求证：

???0。

【答案】

1.

?a?b?2，ab??5?

?a?b

22

?(a?b)?2ab?14?

2

ab

?

ba

?

14?5

??

14 故选B 5

2.

1x

3

x?1x

36

1?x?

3

??

(x?1)(x?x?1)

x

3

242

?

16x(x?x?x?16x)

x

3

422

?16[3?

16(x?1)

x

2

]?16[3?

16?16x

x

]?16?259?4144

说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。 3. 解：原式?

1(x?1)(x?2)

1x?11x?1

1x?21x?5

?

1(x?2)(x?3)

1x?2

2

?

1(x?3)(x?4)

1

1x?4

?

1(x?4)(x?5)

1

1x?5

???

??

?4

1x?3

?

?

x?3

??

x?4

?

x?6x?5

说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。 4. 解：设a?9999

1111

，则A?

2

a?1a?1

42

，B?

a?1a?1

43

2

?A?B?

a?1a?1

2

?

a?1a?1

23

?

a?a?a?1?a?2a?1

(a?1)(a?1)

2

3

32

?

a(a?1)

2

3

(a?1)(a?1)

?0 ?A?B

5. 证明：?a?b?c?0

?(a?b?c)2?0，即a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac?0

又?

a?b?c?

abc

??

16(a

2

?b?c) ?abc?8

22

?a、b、c均不为零

?a?b?c?0

2

2

2

?

1a

?

1b

?

1c

?0

分式的混合运算学案第 2 篇

乘除：

一、选择题

1. 下列运算正确的是（ ） a +x a x 6x +y -x +y 3= =0 C.=-1 D.A. 2=x B.b +x b x +y x -y x

2. 下列分式运算，结果正确的是（ ） 3⎛3x ⎫3x 3a c ad m 4n 4m 4a 2⎛2a ⎫A. 5∙3=; B.∙= C . ; D. ⎪=2 4y ⎪⎪=4y 3 2b d bc n n m a -b a -b ⎝⎭⎝⎭

3. 已知a-b ≠0, 且2a-3b=0，则代数式

A.-12 B.0 C.4 D.4或-12 22a -b 的值是（ ） a -b

x 2x 2-3xy +2y 2

4. 已知=，则的值是（ ） 22y 72x -3xy +7y

A. 284207 B. C. D. [1**********]3

5. 化简x ÷x 1∙等于（ ） y x

y x D. x y A.1 B.xy C.

6. 如果y=x , 那么用y 的代数式表示x 为（ ） x -1

A. x =-y y y y B. x =- C. x = D. x = y +1y -1y +1y -1

x x 27. 若将分式2化简得，则x 应满足的条件是（ ） x +1x +x

A. x>0 B. x

二、解答题 2b -4a 2x 2+x 2x +2y 10ab 2

⋅÷x ； 8. ； 9.化简； 10.化简2⋅2222a 4bc x +2x +15a b x -y

m 2+4m +4m 2+2m 11. 若m 等于它的倒数，求分式m 2-4÷m -2的值；

12. 若分式x +1x +

x +2÷3

x +4有意义，求x 的取值范围；

54

13. 计算-⎛ m ⎫

⎝n ⎪⎭⋅⎛ ⎝-n 2⎫

m ⎪⎪÷(-m n 4)；

⎭

14. 计算4a 2b 2-8ab 2

2x -y

15m 3÷35m 2; 15.计算（xy-x ）÷xy .

加减：

1. 已知x ≠0, 则1

x +1

2x +1

3x 等于（ ） A. 12x B.1511

6x C.6x D.6x

2. 化简2y -3z 2z -3x 9x

2yz +3zx +-4y

6xy 可得到（ ）

A. 零 B.零次多项式 C.一次多项式 D.不为零的分式

, , 3ax -3bx 5x

53A.5abx B.15abx C.15abx D.15abx

4. 在分式①2ab 3a +23x -2ab ; ；③④中分母相同的分式是（ ）; ②2a -b a -b 2(a +b )(a -b ) x -y

A. ①③④ B.②③ C.②④ D.①③

5. 下列算式中正确的是（ ） A. b c b +c b c b +d b c b +d b c bc +ad +=; B.+=; C.+=; D.+= a a 2a a d ac a d a +c a d ac

6.x 克盐溶解在a 克水中，取这种盐水m 克，其中含盐（ ） mx am am mx 克 B.克 C.克 D.克 a x +a x +a x

a +2b b 2a +-= ; 7. a -b b -a a -b

-a +ab -b =-1+ ; 8. a +b

119. 若ab=2,a+b=-1,则+ 的值为a b

235-= ; 10. 计算2+4b 6ab 3a A.

11. 化简分式 x -y +⎛

⎝4xy ⎫⎛4xy ⎫⎪ ⎪的结果是 ; ⋅x +y -⎪ ⎪x -y ⎭⎝x =y ⎭

12. 计算：

122x 2+9x x 2-9-+2（1）2; （2）2; m -3m -9x +3x x +6x +9

a ⎫a 2-2a 1⎛12⎫⎛2⎫⎛13. 化简 a -; 14.化简求值：⋅ -2⎪÷ 1-⎪, 其中x=-3.5. ⎪÷2a +1⎭a -4a +2⎝x x ⎭⎝x ⎭⎝

÷2-2x -1x +2x +1x -1

分式的混合运算学案第 3 篇

分式的加减乘除混合运算：

分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。

分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。

◎ 分式的加减乘除混合运算及分式的化简的知识扩展

1、分式的加减乘除混合运算：

分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。

2、分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。

◎ 分式的加减乘除混合运算及分式的化简的特性

分式的混合运算：

在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：

注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；

注意分式乘除法法则的灵活应用。

◎ 分式的加减乘除混合运算及分式的化简的教学目标

1、.熟悉分式混合运算的运算顺序，熟练地进行分式的混合运算。

2、通过分式混合运算的学习，进一步提高学生的分析能力、运算能力和综合运用知识的能力。

3、通过在学习中循序渐进、由易到难逐步提高过程，增强学生建立坚韧不拔，知难而进，战胜困难的自信心。

分式的混合运算学案第 4 篇

例1、已知a^2-4a+4与丨b-3丨互为相反数，求式子（a/b-b/a）÷（a+b）的值。

分析：互为相反数的两个数和为0，很明显式子a^2-4a+4=（a-2）2是完全平方数，由非负性可解得a，b的值；而所求的式子可通过分式运算进行化简后代入a，b的值即可求出。

解：由题意得

a^2-4a+4+丨b-3丨=0，即（a-2）^2+|b-3|=0，

解得a=2，b=3。

原式=（a/b-b/a）÷（a+b）

=（a^2-b^2）/ab÷（a+b）

=（a-b）/ab

=（2-3）/2×3

=-1/6。

例2、已知√（a-1）+（ab-2）^2=0，求代数式1/ab+1/（a+1）（b+1）+…+1/（a+2019）（b+2019）的值。

分析：由非负性可求得a=1，b=2，代入所求的式子有1/1×2十1/2×3十…十1/2020×2021，利用裂项公式即可求出。

解：由非负性可得a=1，b=2。

原式=1/1×2十1/2×3十…十1/2020×2021

=1-1/2十1/2一1/3十…十1/2020一1/2021

=1一1/2021

=2020/2021

例3、要使分式（a+3）/（a-3）÷（a+2）/（a-4）有意义，求a应满足的条件。

分析：要使分式有意义，则分式的分母不能为0，即构成该分式的每一小组成部分的分式的分母均不能等于0。

所以a-3≠0，a-4≠0，（a+2）/（a-4）≠0，

当a≠3且a≠4且a≠-2时，该分式有意义。

例4、已知a+b+c=0，求式子a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）的值。

解：原式=a/b十a/c十b/a十b/c十c/a十c/b

=（a/b十c/b）+（a/c十b/c）+（b/a十c/a）

=（a+c）/b十（a+b）/c十（b十c）/a；

∵a+b+c=0，

∴原式=-b/b十（-c/c）十（-a/a）

=-1-1-1

=-3。

例5、已知（b+c-a）/（a+b+c）=（c+a-b）/（b+c-a）=（a+b-c）/（c+a-b）=m，求：

m+m^2+m^3的值。

解：m^2=（b+c-a）/（a+b+c）×（c+a-b）/（b+c-a）=（c+a-b）/（a+b+c）；

m^3=m^2×（a+b-c）/（c+a-b）

=（c+a-b）/（a+b+c）×（a+b-c）/（c+a-b）

=（a+b-c）/（a+b+c）；

∴m+m^2+m^3

=（b+c-a）/（a+b+c）十（c+a-b）/（a+b+c）十（a+b-c）/（a+b+c）

=（b+c-a+c+a-b+a+b-c）/（a+b+c）

=（a+b+c）/（a+b+c）

=1。

例6、已知abc=1，求关于X的方程：

X/（1+a+ab）+X/（1+b+bc）+X/（1+c+ca）=2020的解。

解：∵abc=1，

∴1/（1+a+ab）

=1/（abc+a+ab）

=1/a（1+b+bc）

=bc/（1+b+bc）；

1/（1+c+ca）

=1/（abc+c+ca）

=1/c（1+a+ab）

=1/ac（1+b+bc）

=b/（1+b+bc）；

∴1/（1+a+ab）+1/（1+b+bc）+1/（1+c+ca）

=bc/（1+b+bc）十1/（1+b+bc）十b/（1+b+bc）

=（bc+1+b）/（1+b+bc）

=1。

∴原方程的解X=2020。

例7、已知a+1/b=b+1/c=c+1/a，a≠b≠c，

求：a^2b^2c^2的值。

解：∵a+1/b=b+1/c，

∴a-b=1/c-1/b=（b-c）/bc，

∴bc=（b-c）/（a-b）；

同理可得：

ac=（c-a）/（b-c），ab=（a-b）/（c-a）；

∴a^2b^2c^2

=bcacab

=（b-c）/（a-b）×（c-a）/（b-c）×（a-b）/（c-a）=1。

例8、已知3a-4b-c=0，2a+b-8c=0，求代数式：（a^2+b^2+c^2）/（ab+bc+2ac）的值。

分析：已知条件三个未知数两个方程，所以我们无法直接求出a，b，c的值，但我们可以用其中的一个字母来表示其余的两个字母。

3a-4b-c=0①，2a+b-8c=0②，

②×4+①得11a-33c=0，所以a=3c，b=2c。

原=（9c^2+4c^2+c^2）/（6c^2+2c^2+6c^2）

=1。

[拓展训练题]

1、已知分式（X-a）÷（1/X一a）有意义，那么X应满足什么样的条件？

2、已知实数a，b满足丨2a-b+1丨+√（3a-2b+4）=0，求代数式1-（a-b）/（a-2b）÷（a^2-b^2）/（a^2-4ab+4b^2）的值。

3、已知1/a一1/b=1，求代数式：

（a+ab-b）/（a-2ab-b）的值。

4、化简求值：已知a^2-1=0，求下面代数式：

（a-1）/a÷[a-（2a-1）/a]的值。

5、已知abc≠0，且a+b+c=0，求代数式：

a^2/bc十b^2/ac十c^2/ab的值。

6、若a+3b=0，求代数式：

[1-b/（a+2b）]÷（a^2+2ab+b^2）/（a^2-4b^2）的值。

7、已知a≠b≠c，且a，b，c满足：

（a+b）/（a-b）=（b+c）/2（b-c）=（c+a）/3（c-a），求代数式8a+9b+5c的值。

8、已知abcd=1，求代数式：

1/（1+a+ab+abc）十1/（1+b+bc+bcd）十1/（1+c+cd+cda）十1/（1+d+da+dab）的值。

[参考答案]

1、X≠0且X≠1/a；

2、15/7；

3、0；

4、-1/2；

5、3；

6、5/8；

7、0；

8、1。