两角和与差的余弦教学设计

这是两角和与差的余弦教学设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

两角和与差的余弦教学设计第 1 篇

1教学目标

1、理解用向量方法推导两角差的余弦公式的过程；

2、通过简单运用两角和与差的余弦公式，初步理解公式；

3、通过三角函数，余弦公式，向量的数量积等等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一；

2学情分析

学生在第一章已经学习了三角函数的基本关系和诱导公式以及平面向量，但只对有特殊关系的两个角的三角函数关系通过诱导公式变换有一定的了解。对任意两角和、差的三角函数知之甚少。学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望，但应用已有知识解决问题的能力还处在初期，需进一步提高。

3重点难点

1、重点：两角差余弦公式的探索和简单应用。

2、难点：探索过程的组织和引导。

4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【导入】引入思考

不用计算器计算cos(-375°)

活动2【导入】自学指导

一、自主学习（阅读课本P124-P127的内容，并联系平面向量知识完成以下内容，时间5分钟！）

1、已知点P（x，y）为角α的终边与单位圆的交点，则cosα ＝___，sinα ＝____，即点P的坐标又可表示为_________________。

2、已知 a =( x1，y1)， b=(x2，y2)，则a•b= 。

自主探究一：

1、能不能不用计算器求值cos45°,cos30°,cos15° ;

2、cos(45° -30°)=cos45°-cos30°是否成立？

自主探究二：两角差余弦公式推导

1、如图，角α，β的终边与单位圆的交于点A,B，写出

OA‍ ,

OB‍ 的坐标

2、利用定义法和坐标法分别计算

OA‍ •

OB‍

3、观察2中的结果，你会发现cos(α-β)= ？

4、不用计算器求值cos15°

自主探究三：

1、cos(α+β)=？

2、不用计算器求值cos75°

活动3【讲授】排疑解惑

1、利用几何画板演示，先让学生观察

α ，

β 的大小变化时，它们的余弦的差、差角的余弦的关系，让学生感知cos(α–β)

‍≠ cosα-cosβ，并通过继续观察差角的余弦与各自的正余弦值得关系归纳出差角的余弦公式。

2、利用几何画板演示，证明以上归纳的合理性。

3、cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

4、以上公式特征有何特征？

5、不改变本质的情况下你对公式的形式可以做哪些改造？

例1.利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：

（1）cos(90°-α)=sinα

（2）cos(360°-α)=cosα

例2.已知sinα=4/5，α

∈ （90°，180°），cosβ=5/13， β是第四象限角，求cos(α+β)，cos(α-β)的值。

活动4【活动】当堂训练

1、求值

（1）cos24ºcos36º–sin24ºsin 36º

（2）cos66ºcos21º+sin66ºcos69º

2、化简

(1)cos(α-β）cos(α+β）+sin(α-β）sin(α+β）

(2)cos(60º+β)+cos(60º–β)

3、不通过计算器，求cos105º的值

4、(1)已知cosα=-3/5，α∈ （90°，180°)，求cos(45º+α)的值

(2)已知sinα=-2/3，α∈ （180°，270°），cosβ=3/4， β∈ （270°，360°），求cos(β-α)的值

5、已知sin(30º+α)=3/5，60º<α<150º，求cosα的值

活动5【活动】课后小结

1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.

活动6【作业】课后作业

P137：1(1)(2),2,3,4

3.1.1 两角差的余弦公式

课时设计 课堂实录

3.1.1 两角差的余弦公式

1第一学时 教学活动 活动1【导入】引入思考

不用计算器计算cos(-375°)

活动2【导入】自学指导

一、自主学习（阅读课本P124-P127的内容，并联系平面向量知识完成以下内容，时间5分钟！）

1、已知点P（x，y）为角α的终边与单位圆的交点，则cosα ＝___，sinα ＝____，即点P的坐标又可表示为_________________。

2、已知 a =( x1，y1)， b=(x2，y2)，则a•b= 。

自主探究一：

1、能不能不用计算器求值cos45°,cos30°,cos15° ;

2、cos(45° -30°)=cos45°-cos30°是否成立？

自主探究二：两角差余弦公式推导

1、如图，角α，β的终边与单位圆的交于点A,B，写出

OA‍ ,

OB‍ 的坐标

2、利用定义法和坐标法分别计算

OA‍ •

OB‍

3、观察2中的结果，你会发现cos(α-β)= ？

4、不用计算器求值cos15°

自主探究三：

1、cos(α+β)=？

2、不用计算器求值cos75°

活动3【讲授】排疑解惑

1、利用几何画板演示，先让学生观察

α ，

β 的大小变化时，它们的余弦的差、差角的余弦的关系，让学生感知cos(α–β)

‍≠ cosα-cosβ，并通过继续观察差角的余弦与各自的正余弦值得关系归纳出差角的余弦公式。

2、利用几何画板演示，证明以上归纳的合理性。

3、cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

4、以上公式特征有何特征？

5、不改变本质的情况下你对公式的形式可以做哪些改造？

例1.利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：

（1）cos(90°-α)=sinα

（2）cos(360°-α)=cosα

例2.已知sinα=4/5，α

∈ （90°，180°），cosβ=5/13， β是第四象限角，求cos(α+β)，cos(α-β)的值。

活动4【活动】当堂训练

1、求值

（1）cos24ºcos36º–sin24ºsin 36º

（2）cos66ºcos21º+sin66ºcos69º

2、化简

(1)cos(α-β）cos(α+β）+sin(α-β）sin(α+β）

(2)cos(60º+β)+cos(60º–β)

3、不通过计算器，求cos105º的值

4、(1)已知cosα=-3/5，α∈ （90°，180°)，求cos(45º+α)的值

(2)已知sinα=-2/3，α∈ （180°，270°），cosβ=3/4， β∈ （270°，360°），求cos(β-α)的值

5、已知sin(30º+α)=3/5，60º<α<150º，求cosα的值

活动5【活动】课后小结

1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.

活动6【作业】课后作业

P137：1(1)(2),2,3,4

两角和与差的余弦教学设计第 2 篇

学习主题介绍

学习主题名称：《两角和与差的余弦公式》

主题内容简介：《两角和与差的余弦公式》的教学内容是普通高中课程标准实验教科书必修4（人教学A版）中第三章内容，本节课主要介绍两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

学习目标分析

1.知识与能力：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。2.过程与方法：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。3.情感态度与价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

学情分析

前需知识掌握情况：本课时面对的学生是高一年级的学生，他们已经储备了一定的数学知识，数学表达能力和逻辑推理能力，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

对微课的认识：随着信息技术的发展，学生对教学过程中多媒体课件的使用以及音频的播放对学生来说已经很熟悉，微课是在此基础上将这些元素融合在一起，再加入教师的一些讲解实例，能使内容更加生动形象。微课又可发挥反复观看等独特优势，对重难点知识进行集中攻关和突破，可提高学习的学习兴趣和自主学习的能力。

学生特征分析

学习态度：大部分学生学习较为被动，缺乏主动性，课后做题总会遇到各种困难，微课刚好可以随时不懂随时翻看，感觉老师时刻在身边，因此绝大部分同学对于采用微课进行自主学习，学习热情高。

学习风格：利用微课学习，可根据个人的特点反复学习突破重难点，学生上课情绪更高，对微课中的问题有充分的时间与精力进行思考与讨论，充分调动学生的自主学习能力和交流合作能力。

微课用于学生学习的教学策略分析

微课用于学生学习的目的：1.微课又可发挥反复观看等独特优势，对重难点知识进行集中攻关和突破。2.通过微课的复习，学生比较容易形成整体的框架，有利于知识的学习和巩固。

微课用于学生学习的时机：我将会在课前让学生观看微课，学生对重点的地方做笔记。然后让学生自主讨论，总结两角和与差的余弦公式在三角函数恒等变换中的应用，培养学生良好的数学表达和思考的能力。

微课用于学生学习的方式：让学生分组，边观看边讨论，理解两角和与差的余弦公式的推导过程，总结两角和与差的余弦定理在三角函数恒等变换中的应用，培养学生合作的精神。

微课用于学生学习的教学片段设计

教学环节 教师活动 学生活动 对应的教学目标

课堂上观看微课 播发《两角和与差的余弦公式》的微课，引导学生带着问题去学习。 学生认真观看微课，边思考，做笔记 培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

小组合作学习 让学生分组讨论，引导学生思考并解决相关数学问题。 分组讨论解决相关的数学问题 培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

巩固练习 再次播放微课视频，引导学生完成微课中的配套习题。 学生通过互相交流和讨论完成配套习题，总结两角和与差的余弦公式在三角函数恒等变换中怎么应用。 培养学生发现问题解决问题的能力。

微课用于学生学习的组织与管理

如何让学生获得微课资源：1.引导学生课后利用搜索引擎对相关知识的微课资源进行搜索。2.建立班级QQ群、微信群，教师跟学生分享网络上的微课资源。3.学生自行拷贝微课视频。

如何确保学生学习了微课：1.通过调查问卷了解学生的学习情况。2.通过找个别学生谈话，了解他们近阶段的学习情况。

如何

两角和与差的余弦教学设计第 3 篇

一、考纲要求和复习建议：

1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

本节主要题型有：三角函数式的化简与求值，这部分知识难度已较以前有所降低，既有选择、填空形式的题目，也有解答题，且多以解答题的形式出现，属于中等题，应适当控制其难度需同学们掌握，复习过程中应注意变用和逆用公式。

二、复习目标：

通过复习使同学们熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式，力争高考得分。

三、教学重、难点：

教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式；

教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的变用和逆用。

四、教学过程：

1. 主要知识点：

（1）．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；

cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；

tan(α±β)＝tanα±tanβ/1∓tanαtanβ

（2）．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sinαcosα；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan2α＝2tanα/1-tan2α

2.主要题型：

题型一、利用三角函数公式求值：

[例1] (1)(2015·课标卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(

　　)

A．－1/2

　　B. 2/5 C．－2/5 D.1/2

解：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝1/2，故选D.

（2）若tan(α+β)＝1/2，tanα＝1/3，则tanβ=（ ）

A．1/7

　　B.1/6 C．5/7 D.5/6

解：tanβ= tan[(α+β)- α]= tan(α+β)-tanα/1+tan(α+β). tanα=1/7

(3) 已知α∈(π/2，π),sinα＝4/5.

①求sin(π/4+α)的值；②求cos(5π/6-2α)的值．

解：①∵α∈∈(π/2，π)，sinα＝4/5，

∴cosα＝－3/5.∴sin(π/4+α)＝√2/2(sinα＋cosα)

＝√2/2(4/5-3/5)=√2/10

②由①可知sin2α＝2sinαcosα＝－24/25，cos2α＝-7/25

∴cos(5π/6－2α)＝cos5π/6·cos2α＋sin5π/6·sin2α

＝－24+7√3/50.

两角和与差的余弦教学设计第 4 篇

一、教学目标

（1）通过引例让学生经历问题提出过程，激发学生探索数学规律的积极性。

（2）理解两角差的余弦公式及推导过程，并能进行简单的三角恒等变换。

（3）通过公式的探究，培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点与难点

重点：两角差的余弦公式的探究过程及公式的运用。

难点：探索过程的组织和引导，两角差余弦公式的探究思路的发现。

三、教学准备

教师：将教科书中的引例及图3.1-1，图3.1-2，图3.1-3，例1，例2做成投影片，有条件的可利用多媒体，图3.1-2做成动画形式。

学生：直尺、圆规等。

四、教学导图

创设情景，以实例引入课题 明确探究目标及途径组织学生自主探索例题与练习小结与作业。

五、教学设计

1. 展示实例

课本章头图3.1-1给出的问题，创设情景，引入课题。

设计意图：由给出的情境素材，使学生感受到实际问题中对研究两角和（差）公式的需要。

师生活动：教师――运用投影片或多媒体出示实例。组织学生使，问题数学化。

学生――实例的关键是如何由sinα=，求tan a=（45°α）的值。

教师――可先引导学生用方程的思想分析求解该问题。进而启发学生如何用所学的三角学知识进行分析解决。

师生――将问题一般化，抽象概括出带有一般性的数学问题：探求单角与和角的三角函数值之间的关系，即对任意角α、β如何用α、β的三角函数值把α+β或α-β的三角函数值表示出来？为此，本节学习两角差的余弦公式这一具有奠基性的问题，从而引出本节课题。

2. 你认为= 正确吗？

设计意图：人们由于受思维定势的影响，往往以为此“分配律”成立，通过特意设置这个思考问题，让学生深刻认识到这一“习惯性”的结论的不正确性，从而树立不能想当然、要理性思维的良好观念，并认识到要探索的公式在“恒等”方面要求的意义。

师生活动：教师――提出上述问题，引导学生分析认识到，要验证一个等式是否成立，可以先通过特例进行初步验证，有一个特例不成立，就可断言结论不成立;若找不到反例，则可试着去证明它是成立的。

学生――尝试检验，取一些特殊角进行验证，例如α=60°，β=30°，判断出该“式”不是“恒”成立的。

教师――那么，如何用单角α、β的正弦、余弦值正确表示cos（α-β）呢？通过这个问题引起悬念，激起探索欲望。

3. 运用三角函数定义探索cos（α-β）的表达式

设计意图：通过提出用三角函数定义推导公式，学生会考虑单位圆上如何做出角α、β、α-β的三角函数线，教师利用投影或多媒体，积极引导学生经历“作角找线找等量关系”的探索过程。

师生活动：教师――数学上讲究从特殊到一般，从简单到复杂，对此问题，我们也不妨先从α、β、α-β三个角都为锐角的情形开始研究。我们可以借用的工具是什么呢？回到基础，从定义开始。

学生――在单位圆，作出角α、β的终边，从而做出角α-β的余弦线OM，如图3.1-1。

教师――现在，问题可转化为什么样的问题？只需要探究出来什么就可以了呢？

学生――学生基本能够指出，问题转化为：如何用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM？

教师――带领学生利用几何直观寻找OM的表达式，从而得出表达式。教师进一步指出，刚才的推导是在都为锐角这个特殊情况下进行的，所得结果是否任意角α、β都成立？教师可以用多媒体进行演示，让学生通过演示观察猜测结论。肯定结论之后，具体推广过程请同学们课下完成。

4. 能否利用向量的方法探究cos（α-β）公式？

设计意图：通过多角度分析，培养学生的自主探究能力。使学生对向量的坐标表示，向量的数量积有进一步的理解。同时，培养学生严谨的数学品质。

师生活动：教师――上面通过回归定义，我们推导出了两角差的余弦公式，还有其他办法吗？

学生――在平面直角坐标系xOy中作单位圆，以Ox为始边作角α，β，如图3.1-2，从而能写出交点A，B的坐标，由数量积坐标公式推导出cos（α-β）。尝试推导过程。

教师――引导学生分析整个推导过程，是否有不严谨之处？

师生――根据向量数量积的概念，角α-β必须符合条件0≤α-β≤π，若α-β是任意角，则α-β也是任意角。事实上，α-β=2kπ+，或2kπ-

（k∈Z）.

cos（α-β）=cos=O・O对于，对于任意角α、β都有cos（α-β）。=cos αcosβ+sinαsinβ。

5. 归纳公式的结构特点

设计意图：使学生进一步熟悉公式，了解公式的结构特征，以便运用公式解决一些问题或推导其他公式。

师生活动：师生――共同分析公式结构特点：①任意角，②同名积，③符号反。

教师――此公式称为差角的余弦公式，简记为C（α-β）。

6. 自学例1，并解决思考题

设计意图：初步体验公式用法，增加对公式的理解，培养学生的自学能力。

师生活动：学生――求解过程独立完成。

教师――通过本例及思考题，点评①公式的正用和逆用，②角的拆分的多样性，③诱导公式的运用。并安排如下两个变式练习，来强化公式的记忆和理解。

变式练习：求值：（1）cos53°cos23°+

sin53°sin23°;（2）cos（+θ）cosθ+

sin（+θ）sinθ。

7. 自学例2，并完成P127练习第2～4题

设计意图：进一步理解公式，掌握运用公式应该注意的问题，明确思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。

师生活动：学生――认真审题，求解问题，注意步骤。

教师――对学生表述的步骤，是否规范作出必要的点评和要求。

递进思考：将例2的条件α∈（，

π）改为α∈（0，π），如何求cos（α-β）的值。

训练学生的分类讨论的思想，提高表达能力。

8. 练习：以知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）= ，求cos的β值

设计意图：培养学生灵活运用公式的能力，初步体会角的配凑技巧在三角问题解决中的作用。

师生活动：教师――引导学生比较公式，注意角β与α，α+β之间的关系。

学生――独立思考，不难得出β=（α+β）-β

教师――提问学生说出思路，最后进行解法点评。本题特点：①需要构造角，②需要研究角的范围。

9. 反思与升华

① 总结两角差的余弦公式的探索及证明思路;

② 应用公式求值时应注意问题是什么？

③ 总结本节课所涉及的数学思想和办法。

设计意图：通过总结，使学生对本节课有一个全面的认识，提高学生的数学思维能力，培养学生强烈的求知欲望。

师生活动：师生――探究公式的方法：①有简单到复杂，由浅入深;②由特殊到一般，抓主要问题探索;③进行反思，予以修正完善。

六、作业设计

作业：教课书P137习题3.1 A组第2～4题。

备选练习：1. 若cosα+cosβ=cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求cos（α-β）的值。

解：cosα+cosβ=-cosγ ①

sinα+sinβ=-sinγ ②

①+②得：2+2+cos（α+β）=-

⒉ 如何用cos（α-β）的表达式来探究（α±β）的其他三角函数？

七、教材设计说明

（1）本设计首先通过章头图实际问题的引入，让学生感受到研究和差公式的必要，这样设计能够引起学生兴趣，引发矛盾冲突，同时明确了探究目标。

（2）本设计重点放在公式的推导上，分三个层次：一是直觉猜想，特殊验证;二是通过α、β为锐角（α>β）的特殊情况进行探究;三是对一般情形进行探究。这样设计符合认知规律，使学生感受到学习过程是不断猜想、不断修正、从特殊到一般的思维过程。通过探究和证明不但培养了学生逻辑推理能力，而且培养了合情推理能力及创新能力，以及优秀的数学思维品质，体现了探究中“大胆猜想、小心求证”的教学思想，使数学的学习过程由冰冷的美丽化为火热的思考。

（3）关于例题与练习的处理，主要考虑到知识的基础性和方法的简单性，本设计安排为自学、自练方式，这样对学生养成良好的习惯有益。最后通过反思与升华，把学生的思考推向了更广阔的空间。