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高中数学几个重要不等式

日期:2021-12-21

这是高中数学几个重要不等式,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。

高中数学几个重要不等式

高中数学几个重要不等式第 1 篇

  教材分析

  本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的,作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用,研究最值问题,此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材,所以基本不等式应重点研究。

  教学中注意用新课程理念处理教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 通过本节学习体会数学来源于生活,提高学习数学的乐趣。

  课程目标分析

  依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况,特确定如下目标:

  1、知识与能力目标:理解掌握基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念,学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

  2、过程与方法目标:按照创设情景,提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的学习方法,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索基本不等式性质,体会学习数学规律的方法,体验成功的乐趣。

  3、情感与态度目标:通过问题情境的设置,使学生认识到数学是从实际中来,培养学生用数学的眼光看世界,通过数学思维认知世界,从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

  教学重、难点分析

  重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式 的证明过程及应用。

  难点:1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

  2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

  教法分析

  本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法,以学生为主体,以基本不等式为主线,从实际问题出发,放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段,加深学生对基本不等式的理解。

  教学准备

  多媒体课件、板书

  教学过程

  教学过程设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。

  具体过程安排如下:

  创设情景,提出问题;

  设计意图:数学教育必须基于学生的“数学现实”,现实情境问题是数学教学的平台,数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实,并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

  上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。

  [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

  本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系,抽象出不等式 。在此基础上,引导学生认识基本不等式。

  二、抽象归纳:

  一般地,对于任意实数a,b,有 ,当且仅当a=b时,等号成立。

  [问] 你能给出它的证明吗?

  学生在黑板上板书。

  特别地,当a>0,b>0时,在不等式 中,以 、 分别代替a、b,得到什么?

  设计依据:类比是学习数学的一种重要方法,此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源,突破了重点和难点,而且感受了其中的函数思想,为今后学习奠定基础.

  答案: 。

  【归纳总结】

  如果a,b都是正数,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立。

  我们称此不等式为基本不等式。 其中 称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数。

  三、理解升华:

  1、文字语言叙述:

  两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

  2、联想数列的知识理解基本不等式

  已知a,b是正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,A与G有无确定的大小关系?

  两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

  3、符号语言叙述:

  若 ,则有 ,当且仅当a=b时, 。

  [问] 怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论,交流看法,师生总结)

  “当且仅当a=b时,等号成立”的含义是:

高中数学几个重要不等式第 2 篇

  教学准备

  教学目标

  1、知识与能力目标:理解掌握基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念,学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

  2、过程与方法目标:按照创设情景,提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的学习方法,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索基本不等式性质,体会学习数学规律的方法,体验成功的乐趣。

  3、情感与态度目标:通过问题情境的设置,使学生认识到数学是从实际中来,培养学生用数学的眼光看世界,通过数学思维认知世界,从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

  教学重难点

  1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

  2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

  教学过程

  一、 创设情景,提出问题;

  设计意图:数学教育必须基于学生的“数学现实”,现实情境问题是数学教学的平台,数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实,并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

  上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。

  [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

  本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系,抽象出不等式

  在此基础上,引导学生认识基本不等式。

  三、理解升华:

  1、文字语言叙述:

  两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

  2、联想数列的知识理解基本不等式

  已知a,b是正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,A与G有无确定的大小关系?

  两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

  3、符号语言叙述:

  4、探究基本不等式证明方法:

  [问] 如何证明基本不等式?

  (意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明,实现从感性认识到理性认识的升华,前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的,下面用代数的思想,利用不等式的性质直接推导这个不等式。)

  方法一:作差比较或由

  展开证明。

  方法二:分析法(完成课本填空)

  设计依据:课本是学生了解世界的窗口和工具,所以,课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考,养成讲讲议议、

  动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯,真正学会读“数学书”。

  点评:证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

  5、探究基本不等式的几何意义:

  借助初中阶段学生熟知的几何图形,引导学生

  几何解释实质可认为是:在同一半圆中,半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是,直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

  四、探究归纳

  下列命题中正确的是

  结论:

  若两正数的乘积为定值,则当且仅当两数相等时,它们的和有最小值;

  若两正数的和为定值,则当且仅当两数相等时,它们的乘积有最大值。

  简记为:“一正、二定、三相等”。

  五、领悟练习:

  公式应用之二:(最优化问题)

  设计意图:新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣,拓宽学生的视野,更重要的是调动学生探究钻研的兴趣,引导学生加强对生活的关注,让学生体会:数学就在我们身边的生活中

  (1) 在学农期间,生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地,为了保护茶叶的健康生长,学校决定用篱笆围起来,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?

  (2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆,要围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少?

  六、反思总结,整合新知:

  通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要

  请教?

  设计意图:通过反思、归纳,培养概括能力;帮助学生总结经验教训,巩固知识技能,提高认知水平.

  老师根据情况完善如下:

  两种思想:数形结合思想、归纳类比思想。

  三个注意:基本不等式求函数的最大(小)值是注意:“一正二定三相等”

高中数学几个重要不等式第 3 篇

  一、教材分析

  1、本节教材的地位和作用

  “基本不等式” 是必修5的重点内容,在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质。

  2、 教学目标

  (1)知识目标:探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。

  (2)能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。?

  (3)情感目标:培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

  3、教学重点、难点

  根据课程标准制定如下的教学重点、难点

  重点: 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式。

  难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘,用基本不等式求最值。

  二、教法说明

  本节课借助几何画板,使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景,激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析;让学生边议、边评;组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣,让学生的潜能、创造性最大限度发挥,使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。

  三、学法指导

  为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体,教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题,感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力,让学生学会学习。

  四、教学设计

  ◆运用2002年国际数学家大会会标引入

  ◆运用分析法证明基本不等式

  ◆不等式的几何解释

  ◆基本不等式的应用

  1、运用2002年国际数学家大会会标引入

  如图,这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。(展示风车)

  正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形,它们的面积之和是S’=_

  从图形中易得,s≥s’,即

  问题1:它们有相等的情况吗?何时相等?

  问题2:当 a,b为任意实数时,上式还成立吗?(学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)

  一般地,对于任意实数a、b,我们有

  当且仅当(重点强调)a=b时,等号成立(合情推理)

  问题3:你能给出它的证明吗?(让学生独立证明)

  设计意图

  (1)运用2002年国际数学家大会会标引入,能让学生进一步体会中国数学的历史悠久,感受数学与生活的联系。

  (2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系,引入基本不等式很直观。

  (3)三个思考题为学生创造情景,逐层深入,强化理解.

  2、运用分析法证明基本不等式

  如果 a>0,b>0 ,

  用 和 分别代替a,b。可以得到

  也可写成

  (强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)

  问题4:你能用不等式的性质直接推导吗?

  要证 = 1 GB3 ①

  只要证 = 2 GB3 ②

  要证② ,只要证 = 3 GB3 ③

  要证 = 3 GB3 ③ ,只要证 = 4 GB3 ④

  显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.

  (强调基本不等式取等的条件“等”)

  设计意图

  (1)证明过程课本上是以填空形式出现的,学生能够独立完成,这也能进一步培养学生的自学能力,符合课改精神;

  (2)证明过程印证了不等式的正确性,并能加深学生对基本不等式的理解;

  (3)此种证明方法是“分析法”,在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解,此处有必要让学生初步了解。

  3、不等式的几何解释

  如图,AB是圆的直径,C是AB上任一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则CD= ,半径为

  问题5: 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? (学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)

  设计意图

  几何直观能启迪思路,帮助理解,因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。

  4、基本不等式的应用

  例1.证明

  (学生自己证明)

  设计意图

  (1)这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程;

  (2)学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式;

  (3)此例不是课本例题,比课本例题简单,这样,循序渐进, 有利于学生理解不等式的内涵。

  例2:(1)把36写成两个正数的积,当两个正数取什么值时,它们的和最小?

  (2)把18写成两个正数的和,当两个正数取什么值时,它们的积最大?

  (让学生分组合作、探究完成)

高中数学几个重要不等式第 4 篇

  课标要求

  知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;

  过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;

  情感目标:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣; 识记 理解 应用 综合 知识点一:

  基本不等式及其推导

  过程 ∨ 知识点二:

  基本不等式的应用 ∨ 目标设计 1.通过从不同角度探索不等式 的证明过程,使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;

  2.掌握基本不等式解决最值问题,并理解运用基本不等式 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。 教学情境一:

  如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,

  会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,

  颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。

  问题1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

  分析:将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。

  教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

  我们考虑4个直角三角形的面积的和是 ,正方形的面积为 。

  由图可知 ,即 .

  当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有 。

  新知:若 ,则

  教学情境二:

  先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,

  再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

  (两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).

  假设两个正方形的面积分别为 和 ( )

  问题2:考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?

  新知:若 ,则

  问题3:你能用代数的方法给出它们的证明吗?

  证明:因为 ,即 (当 时取等号)

  (在该过程中,可发现 的取值可以是全体实数)

  证明:(分析法):由于 ,于是要证明 ,

  只要证明 ,

  即证 ,即 ,

  所以 ,(当 时取等号)

  【板书】两个重要不等式

  若 ,则 (当且仅当 时,等号成立)

  若 ,则 (当且仅当 时,等号成立)

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