实际问题与二次函数教案第三课时

这是实际问题与二次函数教案第三课时，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

实际问题与二次函数教案第三课时第 1 篇

　　目标：

　　1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。

　　2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

　　3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

　　重点难点：

　　重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是的重点。

　　难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

　　教学过程：

　　一、创设问题情境

　　如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?

　　分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

　　如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1)

　　因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

　　因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a＝－0.2

　　因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

　　请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。

　　二、引申拓展

　　问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?

　　让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

　　问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

　　分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的'对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

　　二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。

　　解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。

　　因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，

　　所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

　　由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到4a＋2b＝0.816＋4b＝0 解这个方程组，得a＝－15b＝45 所以，所求的二次函数的关系式为y＝－15x2＋45x。

　　问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?

　　问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?

　　(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)

　　请同学们阅渎P18例7。

　　三、课堂练习： P18练习1．(1)、(3)2。

　　四、综合运用

　　例1．如图所示，求二次函数的关系式。

　　分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

　　解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

　　设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到64a＋8b＝－44a－2b＝－4 解这个方程组，得a＝－14b＝32

　　所以，所求二次函数的关系式是y＝－14x2＋32x＋4

　　练习： 一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

　　五、小结：

　　二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。

　　六、作业

　　1．P19习题 26．2 4．(1)、(3)、5。

　　2．选用课时作业优化设计，

实际问题与二次函数教案第三课时第 2 篇

　　第1课时 二次函数与图形面积

　　出示目标

　　能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.

　　预习导学

　　阅读教材第49至50页,自学“ 探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义.

　　自学反馈 学生独立完成后集体订正

　　①如图，点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)

　　A.当C是AB的中点时，S最小

　　B.当C是AB的中点时，S最大

　　C.当C为AB的三等分点时，S最小

　　D.当C是AB的三等分点时，S最大

　　②用长8 的铝合金制成如图所示的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是 2.

　　第②题图 第③题图

　　③如图所示，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 c，当水渠深x为 时，横断面面积最大，最大面积是 .

　　先列出函数的解析式，再根据 其增减性确定最值.

　　合作探究1

　　活动1 小 组讨论

　　例1 某建筑的窗户如图所示 ，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 (图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 )？此时，窗户的面积是多少？

　　解:由题意可知4+ ×2πx+7x=15.化简得= .

　　设窗 户的面积为S 2，则S= πx2+2x× =-3. 5x2+7.5x.

　　∵a=-3.5<0，∴S有最大值.∴当x=- = ≈1.07 ()时，

　　S最大= ≈4.02(2).即当x≈1.07 时，窗 户通过的光线最多.

　　此时，窗户的面积是4.02 2.

　　此题较复杂，特别要注意:中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.

　　活动2 跟踪训练(小组讨论解题思路共同完成并展示)

　　如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米 ，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，两腰之间有两条竖直甬道，且它们的宽度相等，设甬道的宽为x米.

　　①用含x的式子表示横向甬道的面积；

　　②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；

　　③根据设计的要 求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的`总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

　　解：①150x 2；②5 ；③当甬道宽度为6 时，所建花坛总费用最少，为238.44万元.

　　想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形.

　　合作探究2

　　活动1 小组讨论

　　例2 如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的 边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？

　　解:设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x.

　　那么两个正方形的面积和为=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.当x= a时，

　　最小=2×( a)2-2a× a+a2= a2. 即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.

　　此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.

　　活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)

　　如图，有一块空地，空地外有一面长10 的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃， 用32 长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 的通道及在左右花圃各放一个1 宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

　　解：当x=6.25 时，面积最大为56.25 2 .

　　此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内.

　　活动3 课堂小结

　　学生试述:这节课你学到了些什么？

　　当堂训练

　　教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

　　5

实际问题与二次函数教案第三课时第 3 篇

1教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的性质解决最小（大）值等实际问题．

2学情分析

学生已经学习了二次函数的图象以及它的性质，了解了其在实际问题中的简单应用。这节课将围绕二次函数的最大值的求法进行更进一步的探究，已获得化解实际问题的一般解题方法。

3重点难点

探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．

4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【导入】活动一

　　创设情境，引出问题

情境：教师向上垂直抛一小球，让学生观察．请学生判断“小球的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）是否为函数关系”，并说明理由．

教师：小球的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）我们可以近似地看做是一个二次函数关系，接下来我们就应用二次函数这一模型来研究一些实际问题．（板书课题，投影问题）

问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

活动2【活动】活动二

　　互动交流，寻求解法

学生活动：用已经学过的知识，试着找出解决这个问题的思路，然后在小组中交流．

学生自主分析，3分钟后，教师组织学生开始在小组内交流各自的解题思路．

教师：说说你们的解题思路吧！

学生1：因为小球的高度h是小球的运动时间t的二次函数，所以我们可以利用二次函数的图象来研究这个问题．

教师：很好！根据函数的图象，我们可以发现这些函数所具有的性质，也就能够找到问题解决的途径．接下来，就请大家先做出函数的图象，并给出解题的过程．

学生按照列表、描点、连线的过程作出h＝30t－5t2（0≤t≤6）的图象，教师巡视并指导学生作图．

教师投影学生作出的图象，并请学生结合图象分析“小球的运动时间是多少时，小球最高”，说出它的最大高度．

学生2：小球运动的最大高度对应着函数图象中的最高点，也就是函数图象的顶点．

学生3：小球运动的最大高度对应着函数自变量取顶点横坐标时的函数值．

教师：那么，我们如何求出这个大高度呢？

学生4：当 时，h有最大值为 ．也就是说，当运动的时间是3s时，小球运动中的最大高度是45m．

问题2 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如何求出它的最小（大）值呢？

学生活动：根据前面解决问题的方法，总结出求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值的方法．

（板书：当 时，y有最小（大）值为 ．）

巩固练习 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

（一学生板演，其余学生自主解答，教师巡视指导，并结合板演进行点评）

活动3【活动】活动三

　　适度拓展，形成通法

学生活动：认真阅读问题3至问题5，看看它们与问题1有和差别，并试着用解决问题1时作出的图象去解决这些问题．

问题4 从地面竖直向上抛出一小球，如果小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤2）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

问题5 从地面竖直向上抛出一小球，如果小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（1≤t≤4）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

问题6 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（4≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

学生自主解答，教师巡视指导，然后在全班交流解题的思路．

教师：通过解决上述5个问题，给你今后化解与二次函数有关的实际问题带来什么启示？请在小组中交流．

归纳：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，找到函数图象的最高（低）点，从而求出二次函数的最小(大)值．

活动4【练习】活动四

　　即时训练，巩固新知

为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，墙长为am（0＜a＜40），另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）．设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为y（m2)．

　　（1）若a＝25，当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少m2？

　　（2）若a＝15，当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少m2？

活动5【讲授】活动五

　　课堂小结，归纳提升

通过这节课的学习，你有哪些收获？

（1）如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？

（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？

活动6【导入】活动六

　　布置作业，课外延伸

必做题：教科书习题22.3　第1，4，5题．

选做题：教科书习题22.3　第7，8题．

活动7【导入】【板书设计】

22.3 实际问题与二次函数

课时设计 课堂实录

22.3 实际问题与二次函数

1第一学时 教学活动 活动1【导入】活动一

　　创设情境，引出问题

情境：教师向上垂直抛一小球，让学生观察．请学生判断“小球的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）是否为函数关系”，并说明理由．

教师：小球的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）我们可以近似地看做是一个二次函数关系，接下来我们就应用二次函数这一模型来研究一些实际问题．（板书课题，投影问题）

问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

活动2【活动】活动二

　　互动交流，寻求解法

学生活动：用已经学过的知识，试着找出解决这个问题的思路，然后在小组中交流．

学生自主分析，3分钟后，教师组织学生开始在小组内交流各自的解题思路．

教师：说说你们的解题思路吧！

学生1：因为小球的高度h是小球的运动时间t的二次函数，所以我们可以利用二次函数的图象来研究这个问题．

教师：很好！根据函数的图象，我们可以发现这些函数所具有的性质，也就能够找到问题解决的途径．接下来，就请大家先做出函数的图象，并给出解题的过程．

学生按照列表、描点、连线的过程作出h＝30t－5t2（0≤t≤6）的图象，教师巡视并指导学生作图．

教师投影学生作出的图象，并请学生结合图象分析“小球的运动时间是多少时，小球最高”，说出它的最大高度．

学生2：小球运动的最大高度对应着函数图象中的最高点，也就是函数图象的顶点．

学生3：小球运动的最大高度对应着函数自变量取顶点横坐标时的函数值．

教师：那么，我们如何求出这个大高度呢？

学生4：当 时，h有最大值为 ．也就是说，当运动的时间是3s时，小球运动中的最大高度是45m．

问题2 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如何求出它的最小（大）值呢？

学生活动：根据前面解决问题的方法，总结出求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值的方法．

（板书：当 时，y有最小（大）值为 ．）

巩固练习 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

（一学生板演，其余学生自主解答，教师巡视指导，并结合板演进行点评）

活动3【活动】活动三

　　适度拓展，形成通法

学生活动：认真阅读问题3至问题5，看看它们与问题1有和差别，并试着用解决问题1时作出的图象去解决这些问题．

问题4 从地面竖直向上抛出一小球，如果小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤2）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

问题5 从地面竖直向上抛出一小球，如果小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（1≤t≤4）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

问题6 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（4≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

学生自主解答，教师巡视指导，然后在全班交流解题的思路．

教师：通过解决上述5个问题，给你今后化解与二次函数有关的实际问题带来什么启示？请在小组中交流．

归纳：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，找到函数图象的最高（低）点，从而求出二次函数的最小(大)值．

活动4【练习】活动四

　　即时训练，巩固新知

为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，墙长为am（0＜a＜40），另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）．设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为y（m2)．

　　（1）若a＝25，当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少m2？

　　（2）若a＝15，当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少m2？

活动5【讲授】活动五

　　课堂小结，归纳提升

通过这节课的学习，你有哪些收获？

（1）如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？

（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？

活动6【导入】活动六

　　布置作业，课外延伸

必做题：教科书习题22.3　第1，4，5题．

选做题：教科书习题22.3　第7，8题．

活动7【导入】【板书设计】

实际问题与二次函数教案第三课时第 4 篇

学习目标：

1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。

2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。

学习重点：应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。

学习难点：能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。

学习过程：

一、情景导学：

1、问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2。5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在某一时间内，单价是13。5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。 请你帮助分析：销售单价是多少时，可以获利最多?

问题1、总利润= × ，单件利润= — 。

2、在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

3、根据前面的分析我们若设每个涨价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是 ，化为一般式 。这里y是x的 函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。