特殊角的锐角三角函数值教案

这是特殊角的锐角三角函数值教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

特殊角的锐角三角函数值教案第 1 篇

　　【内容概述】

　　证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。最常用的是利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。

　　本内容通过动手操作得出切线的判定定理，再利用解决两道例题，总结归纳出两种具体的证法：

　　①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；

　　②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

　　归纳总结后，马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。

　　【教学重难点】

　　理解切线的判定方法，能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。

　　【教学目标】

　　掌握判断圆的切线的方法，并灵活解题。进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。

　　【教学过程】

　　一、复习引入

　　平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？怎样判定一条直线是圆的切线？

　　⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（定义）

　　⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（d=r）

　　除了这两种方法，还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢?

　　活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？

　　切线判定定理：经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

　　活动二：分析定理。经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

　　这个定理有什么用？证明一条直线是圆的切线，那根据这个判定定理，要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？

　　对定理的理解：①经过半径外端. ②垂直于这条半径。

　　定理中的两个条件缺一不可。

　　二、典型例题

　　例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB，

　　求证：直线AB是⊙O的切线。

　　证明：连结0C

　　∵0A＝0B，CA＝CB，

　　∴AB⊥OC。

　　∵直线AB经过半径0C的外端C，

　　并且垂直于半径0C，

　　∴AB是⊙O的切线。

　　【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的`外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。

　　例2：如图，P是∠BAC上的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，请问AB与以P

　　为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么 ？

　　证明：过P作PE⊥AB于E

　　∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

　　∴PE=PD(角平分线上的点到角两边距离相等)

　　∴圆心P到AB的距离PE=PD=半径

　　∴AB与圆相切

　　【设计意图】通过例一和例二的解答，总结证明切线的两种添加辅助线的方法。

　　①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；

　　②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

　　三、知识应用（练习）

　　1、如图，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上

　　的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，弦AC平分∠EAB。

　　求证：DE是⊙O的切线．

　　［分析］：因直线DE与⊙O有公共点C，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

　　证明：连接OC，则OA=OC，

　　∴∠CAO=∠ACO(等边对等角)

　　∵AC平分∠EAB(已知)

　　∴∠EAC=∠CAO(角平分线的定义)

　　∴∠EAC=∠ACO（等量代换）

　　∴AE∥CO，(内错角相等，两直线平行)

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DC，

　　∴DE是⊙O的切线．

　　【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OC⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的。

　　2、如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分别是AC、

　　BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

　　［分析］：因直线AB与⊙O无确定的公共点，故应采用“作垂直，证半径”方法。

　　证明：过O点作OH⊥AB于H

　　∵E、F分别为AC、BC的中点（已知）

　　∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）

　　∴G点为CD的中点，OH=GD=CD

　　∵CD=AB ∴EF=CD

　　∴OH=EF

　　∴AB为⊙O的切线

　　四、小结升华

　　本节课里，你学到了哪些知识，它们是如何应用的？

　　证明切线的方法：(1)直线和圆有交点时，“连半径，证垂直”；

　　(2)直线和圆无确定交点时，“作垂直，证半径”。

　　【设计意图】让学生自己通过这节课的学习归纳总结出本知识点，即判断直线与

　　圆相切的方法以及二种添加辅助线的方法。

特殊角的锐角三角函数值教案第 2 篇

　　复习目的：

　　1.本节课主要通过习题与考点实体的分析，使学生在复习过程中了解中招试题与课本的内在联系，避免在复习过程中抛开课本，一味地钻到偏题、怪题的题海里。

　　2.通过本节的复习，让学生牢牢地把握圆的切线的基础知识。

　　3.在基础知识掌握的同时去发挥：改变题的条件与结论、增加或减少条件、给出条件探索结论、给出结论探索条件等形成新题。

　　复习重点：

　　例习题的改造及分析。

　　复习难点：

　　试题的解答。

　　教具：

　　多媒体课件。

　　教学过程：

　　一、新课引入：

　　现在考试题目并不推崇怪题、偏题，很多题目就是以课本习题为蓝本，通过改编而成，所以深入挖掘研究教材是大有可为的。请看下面题目：

　　二、讲新课：

　　例1 （2001年湖北荆州市中考题） 如图1，在△ABC中，∠B=

　　90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交与点E与AC切于点D。

　　⑴求证：DE‖OC；

　　⑵若AD＝2，DC＝3，求tan∠ADE的值。

　　（让学生读题,引导学生分析)

　　师:由AC与⊙O相切可得哪些结论?

　　生:AC与过切点D的半(直)径垂直.

　　师:连结OD后,图中都有哪些相等的角?

　　生:∠CDO=∠CBO=90°,∠ACO=∠BCO,∠COD=∠COB,

　　∠ODE=∠OED, ∠ACB=∠AOD(∵∠ACB+∠DOB=180°,∠AOD+∠DOB=180°,∴∠ACB=∠AOD.)

　　师:由∠ACB=∠AOD,还能得出相等的角吗?(关键引导得出:

　　∠COD=∠COB=∠ODE=∠OED.再由∠COD=∠ODE或

　　∠COB=∠OED.最后由内错角相等或同位角相等证明DE‖OC)

　　师: 第 ⑵问在第 ⑴问DE‖OC的基础上,若AD＝2，DC＝3，求tan∠ADE的值,∠ADE与哪些角相等?

　　生:∠ADE=∠ACO,∠ADE=∠BCO.

　　师: 求tan∠ADE的值,若能求出tan∠BCO的'值即可.Rt△OCB中，CB=CD=3，只要求出OB的值，能求出OB的值吗？（设OB＝x，由勾股定理得AB＝4，由DE‖OC，得＝，即＝，得x=1.5,

　　tan∠ADE=1.5.)

　　师:此题似曾相识，它的图形与我们学过的哪个题的图形差不多？区别在哪里？比课本上的题的难度怎样？（引导学生回忆，它的第⑴问是将几何第三册P94例3如图2，已知:AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证C是⊙O的切线.两题中的平行的条件和切线的结论交换了位置，来源于教材，难度却在教材之上。）（课本中的例3不必再作）

特殊角的锐角三角函数值教案第 3 篇

　　【内容概述】

　　证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。最常用的是利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。

　　本内容通过动手操作得出切线的判定定理，再利用解决两道例题，总结归纳出两种具体的证法：

　　①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；

　　②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

　　归纳总结后，马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。

　　【教学重难点】

　　理解切线的判定方法，能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。

　　【教学目标】

　　掌握判断圆的切线的方法，并灵活解题。进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。

　　【教学过程】

　　一、复习引入

　　平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？怎样判定一条直线是圆的切线？

　　⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（定义）

　　⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（d=r）

　　除了这两种方法，还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢?

　　活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？

　　切线判定定理：经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

　　活动二：分析定理。经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

　　这个定理有什么用？证明一条直线是圆的切线，那根据这个判定定理，要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？

　　对定理的理解：①经过半径外端. ②垂直于这条半径。

　　定理中的两个条件缺一不可。

　　二、典型例题

　　例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB，

　　求证：直线AB是⊙O的切线。

　　证明：连结0C

　　∵0A＝0B，CA＝CB，

　　∴AB⊥OC。

　　∵直线AB经过半径0C的外端C，

　　并且垂直于半径0C，

　　∴AB是⊙O的切线。

　　【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的`外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。

　　例2：如图，P是∠BAC上的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，请问AB与以P

　　为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么 ？

　　证明：过P作PE⊥AB于E

　　∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

　　∴PE=PD(角平分线上的点到角两边距离相等)

　　∴圆心P到AB的距离PE=PD=半径

　　∴AB与圆相切

　　【设计意图】通过例一和例二的解答，总结证明切线的两种添加辅助线的方法。

　　①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；

　　②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

　　三、知识应用（练习）

　　1、如图，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上

　　的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，弦AC平分∠EAB。

　　求证：DE是⊙O的切线．

　　［分析］：因直线DE与⊙O有公共点C，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

　　证明：连接OC，则OA=OC，

　　∴∠CAO=∠ACO(等边对等角)

　　∵AC平分∠EAB(已知)

　　∴∠EAC=∠CAO(角平分线的定义)

　　∴∠EAC=∠ACO（等量代换）

　　∴AE∥CO，(内错角相等，两直线平行)

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DC，

　　∴DE是⊙O的切线．

　　【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OC⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的。

　　2、如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分别是AC、

　　BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

　　［分析］：因直线AB与⊙O无确定的公共点，故应采用“作垂直，证半径”方法。

　　证明：过O点作OH⊥AB于H

　　∵E、F分别为AC、BC的中点（已知）

　　∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）

　　∴G点为CD的中点，OH=GD=CD

　　∵CD=AB ∴EF=CD

　　∴OH=EF

　　∴AB为⊙O的切线

　　四、小结升华

　　本节课里，你学到了哪些知识，它们是如何应用的？

　　证明切线的方法：(1)直线和圆有交点时，“连半径，证垂直”；

　　(2)直线和圆无确定交点时，“作垂直，证半径”。

　　【设计意图】让学生自己通过这节课的学习归纳总结出本知识点，即判断直线与

　　圆相切的方法以及二种添加辅助线的方法。

特殊角的锐角三角函数值教案第 4 篇

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．

难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．

2、教法建议

本节内容需要一个课时．

（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；

（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．

教学目标

1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；

2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．

3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．

教学重点:

切线长定理是教学重点

教学难点 :

切线长定理的灵活运用是教学难点

教学过程 设计:

（一）观察、猜想、证明，形成定理

1、切线长的概念．

如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．

引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

2、观察

利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．

3、猜想

引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．

4、证明猜想，形成定理．

猜想是否正确。需要证明．

组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．

想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？

∠OPA＝∠OPB(如图)等．

切线长定理：从圆外一点引圆的'两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

5、归纳：

把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

6、切线长定理的基本图形研究

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C

(1)写出图中所有的垂直关系；

(2)写出图中所有的全等三角形；

(3)写出图中所有的相似三角形；

(4)写出图中所有的等腰三角形．

说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．

（二）应用、归纳、反思

例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，

A和B是切点，BC是直径．

求证：AC∥OP．

分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作辅助线AB.

从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP ⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．

证法一．如图．连结AB．

PA，PB分别切⊙O于A，B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴ OP ⊥AB

又∵BC为⊙O直径

∴AC⊥AB

∴AC∥OP (学生板书)

证法二．连结AB，交OP于D

PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴AD＝BD

又∵BO=DO

∴OD是△ABC的中位线

∴AC∥OP

证法三．连结AB，设OP与AB弧交于点E

PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA＝PB

∴ OP ⊥AB

∴ =

∴∠C＝∠POB

∴AC∥OP

反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力．

例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等．

（分析和解题略）

反思：（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．

P120练习：

练习1 填空

如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝________

练习2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长．

分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米．后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果．

（解略）

反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题．通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力．

（三）小结

1、提出问题学生归纳

（1）这节课学习的具体内容；

（2）学习用的数学思想方法；

（3）应注意哪些概念之间的区别?

2、归纳基本图形的结论

3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．

（四）作业

教材P131习题7．4A组1．(1)，2，3，4．B组1题．

探究活动

图中找错

你能找出（图1）与（图2）的错误所在吗？

在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线．

提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上．

在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，则有

a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①

c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②

a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③

将②代人①式得

a =P1P3+（P2P3+ b）=P1P3+P2P3+ b，

∴a-b=P1P3+P2P3

由③得a-b=P1P2得

∴P1P2=P2P3+ P1P3

∴P1、P 2 、P3应重合，故图2是错误的．

数学教案－切线长定理