一元二次方程的近似解的求法

这是一元二次方程的近似解的求法，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

一元二次方程的近似解的求法第 1 篇

一、教学目标设计

1、教学目标

1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；

2．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验；

3．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2、教学重点

能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3、教学难点

会作二次函数的图象，体会利用数形结合法解决函数问题的一般经验

二、教学过程设计

本节课设计了七个教学环节：学习目标、复习二次函数的定义、复习二次函数的图象和性质、二次函数关系式的三种表示方式、练习与提高、课堂小结、布置作业。

第一个环节：我们先了解一下今天的教学目标（初始教学课件）

1.理解二次函数的概念；

2.会用描点法画出二次函数的图象；

3.会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；

4.体会数形结合思想在二次函数中的综合运用。

第二个环节：复习二次函数的定义

定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数. 解决方法：教师提示注意三点

1、下列函数中,哪些是二次函数？

(1)y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t²

(5)y=(x+3)²-x²

2、m为何值时，函数(2)y=x+(4)y=1x.1.2x-x是一个二次函数

3、

结合上题和定义设计一道让别人 容易掉进的“陷阱题”

第三环节 复习二次函数的图象和性质

1．二次函数的图象和性质要点

（一）形如y=ax2(a≠0) 的二次函数

（二）形如y=ax2+k(a≠0) 的二次函数

（三）形如y=a(x-h)2( a≠0 ) 的二次函数

(四) 形如y=a(x-h)2+k(a ≠0) 的二次函数

(五)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质

2．二次函数的图象和性质练习

（1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限

；

2（2)已知y = - nx (n＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。

2（3）抛物线y =x +3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y =x 2向 平移 个单位得到的；

（4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。

2（5）抛物线 y = 2 (x -0．5 ) +1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 （6）若抛物线y = a (x+m)

2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。 解决方法：提问学生

设计目的：

通过对二次函数y=ax2、y=ax2+k、、y=a(x-h)2

、y=a(x-h)2+k、y=ax2+bx+c的图象和性质的回顾、总结及练习，巩固所学知识。

第四环节

一元二次方程的近似解的求法第 2 篇

教学内容：二次函数关系式的三种表示方式：一般式、顶点式、交点式。

解决方法：师生共同回顾

设计目的：

使学生会用表格、关系式、图象多种方法表示二次函数，会用一般式、顶点式、两根式表示二次函数关系式，并体会函数的各种表示之间的联系和特点

第五环节

练习与提高

1、已知函数y=2（x-5)(x+3)与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C。求点A,B,C的坐标及对称轴（要求用两种方法解决）

2.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样特征的二次函数草图. 解决方法：教师提示，师生共同解决

设计目的：

通过不同的方法，巩固所学知识，扩散学生思维，提高学生解决问题的能力。

第六环节

课堂小结

请学生总结回顾

第七环节

布置作业

课本复习题1－5

二次函数的回顾

一，

目标展示

二，

定义

三，

性质及图像

四，

函数解析式的三种表示形式

五，

能力提高

六，

小结

一元二次方程的近似解的求法第 3 篇

教学目标

1、掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.

2、经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.

3、进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.

重点难点

【重点】

用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.

【难点】

用数形结合的思想解方程及不等式. 教学准备

多媒体课件

教学过程

一、创设情境,导入新知

1、任意一次函数的图象与x轴有几个交点?

一个或不对,当直线与x轴平行时,没有交点或还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.

师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?

学生计算后回答.

二、共同探究,获取新知

问题1、你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?

学生思考，借助二次函数的图象.

教师多媒体课件出示:

二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:

1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?

2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?

3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?

4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?

请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.

学生作图,教师巡视指导.

教师出示图象:

学生观察图象后回答.

这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.

同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?

学生思考,交流讨论.

函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.

同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?

二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.

三、例题讲解

【例】

用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).

解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.

由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.

先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:

x

y

…

…

-2.5

0.25

-2.4

-0.04

…

…

观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.

同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.

方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.

如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.

四、练习新知

师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是

.

【答案】x1=1,x2=-5

2.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.

(1)y=2x2-5x+3;

(2)y=x2+3x+5;

(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.

【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);

(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;

(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;

(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).

3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.

【答案】根据题意,得

解得k>-且k≠0.

五、继续探究,层层推进

我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看教材。

学生看图.

我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?

1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.

2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.

同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.

学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.

六、课堂小结

本节课你学习了什么内容?有什么收获?

教学反思

学习这节内容要充分运用两种思想方法: 1.

函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法. 2.

数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透. 在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.

一元二次方程的近似解的求法第 4 篇

教学目标 2学情分析 3重点难点 4教学过程 4.1第一学时评论(0) 教学目标

1、 经历方程解的探索过程，增进学生对方程的认识，发展估算意识和能力

2、 探究一元二次方程解的实际意义，能根据实际情况得出方程的符合实际意义的根。

评论(0) 教学重点

重点：一元二次方程解的探索.

评论(0) 学时难点

难点：一元二次方程近似解的探索.

教学活动 活动1【讲授】活动一

一、知识回顾

1、什么是一元二次方程？_______________________________

2、运用前面所学的知识填空：

（1） 一元二次方程的一般形式为： ____________­___

（2） 把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.

_________________

（3） 判断下列方程哪些是一元二次方程？

①x2+4x+=0

②x2+3x－2= x2

③x2－2xy－3=0

④a x2+bx+c=0

___________________

二、探究新知（一）

探究以下问题

1.两个连续奇数的积是323，求这两个数.

2.用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形，求这个矩形的长与宽.

3.已知一个多边形的对角线共有35条，这个多边形是几边形？

4. 某电厂规定：用户用电，如果一个月用了A度或A度以下，每度电为0.2元，如果一个月的用电量超过了A度，则超过部分每度电的电费按元计算，其余部分仍按每度电0.2元计算.如果该用户四月份用电180度，交电费36元，五月份用电250度，交电费56元.问电厂规定的A度是多少度？

学以致用（一）

1.你会解下列一元二次方程吗？

(1)x2－4=0； (2)x2+12x+40=5.

2.一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t－5t2,小球何时能达到10m高？

学以致用（二）

问题(1)在一问题中，矩形地毯花边的宽x(m)满足方程(8－2x)(5－2x)=18,也就是2x2－13x＋11=0.你能求出x吗？

①x可能小于0吗？说说你的理由。

②x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。

③完成下表：

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

2x2－13x+11

问题(2)，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x－15=0

⑴小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？

⑵底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？

⑶你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

⑷x的整数部分是几？十分位是几？

x

0

0.5

1

1.5

2

x2+12x－15

－15

－8.75

－2

5.25

13

所以1＜x＜1.5.

进一步计算：

x

1.1

1.2

1.3

1.4

x2+12x－15

－0.59

0.84

2.29

3.76

所以：1.1＜x＜1.2.

因此x的整数部分是1，十分位是1.

你的结果怎样呢?

利用以上只是解决课本上的问题。

四、知识小结

1、本节学习的基本方法是_______________。

2、如何进行一元二次方程解的探索________________________________

五、诊断检测 (一)

1、(1)方程x2=64的根是

(1)x2–4x+4=0的根是

(3)4x2–8x+4=0的根是

2、 关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为 。

3、 已知二次三项式x2+2mx+4是一个完全平方式，则m= （）

4、 请写出一个根为1，的一元二次方程是 。

5、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）

A、 若x2=4，则x=2 B、若3x2=6x，则x=2

C、 x2+x-k=0的一个根是1，则k=2

D、以上都不对

诊断检测 (二)

1、方程（x+3）（x－3）=0的根的情况是（ ）

A、无实数根 B、有两个不相等的实数根 C、两根互为倒数 D、两根互为相反数

2、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x＝3与1，那么这个一元二次方程是（ ） A. x2+3x+4=0 B. x2-4x+3=0 C. x2+4x-3=0 D. x2 +3x-4=0

3、一个长方形的周长是30厘米，面积是54平方厘米，设长为X厘米。

（1）根据题意列出方程（ ）

（2）X 的值能小于7吗？说明理由。

（3）X 能大于15吗？说明理由。

诊断检测 (一)答案：

1. (1)X=±8 ( 2). x=2 (3). x=1 2.M =-4 3. M = ±1

4. 2. x2+x-2=0(答案不唯一) 5. C

诊断检测 (二) 答案：

1．B 2. B 3. (1) （15-x）x=54 (2)不能，因为是ｘ＝７时，则宽为８，面积为５６。

　　（3）不能，因为是ｘ＝１５时，矩形周长为３０则宽为０，就构不成矩形了。

六、作业布置 P33　 3 、　4、 5。

21.1 一元二次方程

课时设计 课堂实录

21.1 一元二次方程

1第一学时 教学目标

1、 经历方程解的探索过程，增进学生对方程的认识，发展估算意识和能力

2、 探究一元二次方程解的实际意义，能根据实际情况得出方程的符合实际意义的根。

教学重点

重点：一元二次方程解的探索.

学时难点

难点：一元二次方程近似解的探索.

教学活动 活动1【讲授】活动一

一、知识回顾

1、什么是一元二次方程？_______________________________

2、运用前面所学的知识填空：

（1） 一元二次方程的一般形式为： ____________­___

（2） 把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.

_________________

（3） 判断下列方程哪些是一元二次方程？

①x2+4x+=0

②x2+3x－2= x2

③x2－2xy－3=0

④a x2+bx+c=0

___________________

二、探究新知（一）

探究以下问题

1.两个连续奇数的积是323，求这两个数.

2.用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形，求这个矩形的长与宽.

3.已知一个多边形的对角线共有35条，这个多边形是几边形？

4. 某电厂规定：用户用电，如果一个月用了A度或A度以下，每度电为0.2元，如果一个月的用电量超过了A度，则超过部分每度电的电费按元计算，其余部分仍按每度电0.2元计算.如果该用户四月份用电180度，交电费36元，五月份用电250度，交电费56元.问电厂规定的A度是多少度？

学以致用（一）

1.你会解下列一元二次方程吗？

(1)x2－4=0； (2)x2+12x+40=5.

2.一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t－5t2,小球何时能达到10m高？

学以致用（二）

问题(1)在一问题中，矩形地毯花边的宽x(m)满足方程(8－2x)(5－2x)=18,也就是2x2－13x＋11=0.你能求出x吗？

①x可能小于0吗？说说你的理由。

②x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。

③完成下表：

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

2x2－13x+11

问题(2)，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x－15=0

⑴小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？

⑵底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？

⑶你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

⑷x的整数部分是几？十分位是几？

x

0

0.5

1

1.5

2

x2+12x－15

－15

－8.75

－2

5.25

13

所以1＜x＜1.5.

进一步计算：

x

1.1

1.2

1.3

1.4

x2+12x－15

－0.59

0.84

2.29

3.76

所以：1.1＜x＜1.2.

因此x的整数部分是1，十分位是1.

你的结果怎样呢?

利用以上只是解决课本上的问题。

四、知识小结

1、本节学习的基本方法是_______________。

2、如何进行一元二次方程解的探索________________________________

五、诊断检测 (一)

1、(1)方程x2=64的根是

(1)x2–4x+4=0的根是

(3)4x2–8x+4=0的根是

2、 关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为 。

3、 已知二次三项式x2+2mx+4是一个完全平方式，则m= （）

4、 请写出一个根为1，的一元二次方程是 。

5、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）

A、 若x2=4，则x=2 B、若3x2=6x，则x=2

C、 x2+x-k=0的一个根是1，则k=2

D、以上都不对

诊断检测 (二)

1、方程（x+3）（x－3）=0的根的情况是（ ）

A、无实数根 B、有两个不相等的实数根 C、两根互为倒数 D、两根互为相反数

2、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x＝3与1，那么这个一元二次方程是（ ） A. x2+3x+4=0 B. x2-4x+3=0 C. x2+4x-3=0 D. x2 +3x-4=0

3、一个长方形的周长是30厘米，面积是54平方厘米，设长为X厘米。

（1）根据题意列出方程（ ）

（2）X 的值能小于7吗？说明理由。

（3）X 能大于15吗？说明理由。

诊断检测 (一)答案：

1. (1)X=±8 ( 2). x=2 (3). x=1 2.M =-4 3. M = ±1

4. 2. x2+x-2=0(答案不唯一) 5. C

诊断检测 (二) 答案：

1．B 2. B 3. (1) （15-x）x=54 (2)不能，因为是ｘ＝７时，则宽为８，面积为５６。

　　（3）不能，因为是ｘ＝１５时，矩形周长为３０则宽为０，就构不成矩形了。

六、作业布置 P33　 3 、　4、 5。