独立随机事件

这是独立随机事件，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

独立随机事件第1篇

只要是事先不能预测结果的就是随机事件,例如扔一硬币,事件A：它会向下落并最终掉到地上,事件B：掉到地上后正面朝上,这两个事件A不是随机事件而B是,因为硬币向下落是必然事件,是可以预测的,而落在地上后哪面朝上则都有可能,不可预测.独立事件是对两个或更多事件而言的,对单独一个事件说是不是独立没有意义,两个事件独立是指着两个事件之间没有影响,也就是说先发生的事件不会影响后发生的事件的结果,例如一个盒子里有1白1黑两球,事件A：抽出一个后放回,事件B：再次抽一个,这两个事件是对立的,因为第一次抽完放回后,盒子里没有发生变化,完全对第二次抽取没有影响,而事件A‘：抽出一个后不放回,事件B’：再次抽一个,这两个事件就不独立了,因为假设第一次抽到白球,那盒子里只剩黑球了,对第二次抽取的结果产生了影响,甚至使B‘可以预测,成为必然事件了.

独立随机事件第2篇

　　一般来说，条件概率 与概率 是不相等的。然而，在某些情况下，它们也可能相等。

　　例如，设在10台电视中有7台一等品，有放回地连续抽取两次，每次抽取一台，设事件 表示“第 次取得一等品”（ ），则因为第一次取得的电视已放回，所以第二次抽取时仍然是在10台中有7台一等品，我们有

　　 ， 。

　　由此可见，事件 的条件概率 等于概率 ，即

　　 。

　　这表明事件 的发生不影响事件 的概率。

　　应当指出，对于两个随机事件 与 ，若 ， ，则当等式

　　 (1.5.1)

　　成立时，等式

　　 (1.5.2)

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　也成立。事实上，我们有

　　 。

　　同理可知，当等式(1.5.2)成立时，等式(1.5.1)也成立。这时，概率乘法公式有了更简明的形式：

　　 。

　　于是，我们给出下面的定义：

　　定义1.5.1　设 ， 是两个随机事件，若

　　

　　则称事件 与 是相互独立的（简称为独立的）。

　　由定义1.5.1，不难证明下面的定理：

　　定理1.5.1　若 与 相互独立，则下列各对事件

　　 ， ，

　　也相互独立。

　　对于三个事件的独立性，我们给出如下两个定义：

　　定义1.5.2　设 ， ， 是三事件，如果有等式

　　 ， ，

　　则称三个事件 ， ， 两两独立。

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　

　　定义1.5.3　设 ， ， 是三个事件，如果满足等式

　　 ， ， ，

　　 ，

　　则称 ， ， 为相互独立的事件。

　　一般地，设 是 个事件，如果对于任意 ，任意 ，具有等式

　　 ，

　　则称 是相互独立的事件。

　　实际问题中两事件是否独立常常是由概率以外的专业知识判断的。下面，我们来看两个独立性的应用实例。

独立随机事件第3篇

1. 引言

随机事件的“独立性”是工科《概率论与数理统计》课程中一个非常基础而又极其重要的概念，对一些经典问题的讨论，“独立性”往往是一个重要的前提或假设。另外，在解决一些实际问题的过程中，经常会遇到条件概率的问题。因此，讨论随机事件基于条件概率的独立性是很有必要和自然的。

文献 [1] 中讨论了随机事件条件独立的概念。但是，在实践中发现：一方面，国内的常用教材 [2] [3] [4] 中很少见到关于条件独立性的详细介绍。另一方面，在解决一些问题时，经常将独立性和条件独立性混淆。基于这两个方面，在本文中，主要介绍了随机事件条件独立的概念，并讨论了两个问题：

1) 通过简单例子说明独立性和条件独立性是互不蕴含的关系。

2) 给出条件独立的判定条件。

工程技术中应用条件独立的实际问题也是多见的。比如，在人工智能的机器学习领域就多见条件独立的实际问题 [5] 。综合来看，无论从教学的角度还是应用的角度，讨论事件条件独立性都是有必要的。

2. 主要结果

2.1. 独立性和条件独立性

定义2.1 [2] [3] [4] 设 A , B 是两个事件，如果满足等式

P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B )(1)

则称事件 A , B 相互独立，简称 A , B 独立。

定义2.2 [1] 在给定事件C的条件下，如果事件 A , B 满足

P ( A ∩ B | C ) = P ( A | C ) P ( B | C )(2)

则称A和B在给定条件C下条件独立。

注2.1 特别地，当 P ( C ) = 1 时，由(1)和(2)易知，A和B在给定条件C下条件独立等价于A和B独立。

在一般情况下， A , B 条件独立并不一定能得到 A , B 独立；反之， A , B 独立也并不一定能得到 A , B 条件独立。

下面的两个例子说明了这一点。

例2.1 设一个盒子内装有大小形状完全相同的两个小球，一个红色，一个白色，现从中任取一个，观察其颜色后再放回盒子中，连续观察两次。记

B 1 = {第一次取得红球}， B 2 = {第二次取得红球}，

C = {第一次和第二次取得小球的颜色不同}，

R表示红球，W表示白球，则这个随机试验的样本空间为 S = { R W , W R , R R , W W } ，且四种结果是等可能的。

显然，

P ( B 1 ) = 1 2 , P ( B 2 ) = 1 2 , P ( B 1 ∩ B 2 ) = 1 4 , P ( B 1 | C ) = 1 2 , P ( B 2 | C ) = 1 2 , P ( B 1 ∩ B 2 | C ) = 0

根据(1)可得 B 1 , B 2 是相互独立的。

由于

P ( B 1 ∩ B 2 | C ) ≠ P ( B 1 | C ) P ( B 2 | C ) .

根据定义2.2可知， B 1 和 B 2 在条件C下并不条件独立。

例2.2 设随机试验E为从数据集 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } 中随机取一个数字，每个数字被等可能的选取。记

A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ,   B = { 2 , 3 , 5 , 7 } ,   C = { 2 , 3 , 7 } .

易得，

P ( A ) = 4 9 , P ( B ) = 4 9 , P ( A ∩ B ) = 2 9 , P ( A | C ) = 2 3 , P ( B | C ) = 1 ,   P ( A ∩ B | C ) = 2 3

显然，

P ( A ∩ B ) ≠ P ( A ) P ( B ) , P ( A ∩ B | C ) = P ( A | C ) P ( B | C )

由定义2.1，定义2.2易知： A , B 在给定条件C下条件独立，但是 A , B 并不相互独立。

由例2.1和例2.2可知，在一般情况下，独立性和条件独立性互不蕴含。

2.2. 条件独立性的判定

定理2.1 [1] 设 A , B 是两个事件，事件C是给定的条件，且 P ( B | C ) > 0 ，则A和B在给定条件C下条件独立等价于

P ( A | B ∩ C ) = P ( A | C )(3)

注2.2定理2.1给出了在条件 P ( B | C ) > 0 下，两个随机事件A和B在给定条件C下条件独立的充要条件。(3)式往往可以作为条件独立的等价定义使用。

定理2.2 设 A , B 是两个事件，事件C是给定的条件，且 P ( B | C ) > 0 ，若 C ⊂ B ，则A和B在给定条件C下一定条件独立。

证：根据定理2.1易证。

定理2.3 设 A , B 是随机试验E中的两个独立事件，事件C是给定的条件，且 P ( C ) > 0 ， P ( A | C ) > 0 ， P ( B | C ) > 0 ，若 P ( A ∩ B ∩ C ) = 0 ，则A和B在给定条件C下不可能条件独立。

证：由已知条件可知 P ( A ∩ B | C ) = 0 ， P ( A | C ) P ( B | C ) > 0 .根据定义2.2，定理2.3得证。

注2.3 特别地，定理2.3中，其它条件不变，将 P ( A ∩ B ∩ C ) = 0 替换为 A ∩ B ∩ C = ∅ ，定理2.3的结论显然也正确。

3. 总结

随机事件条件独立性在理论和应用两方面都有着重要意义。然而，在国内教材和文献中又很少见到详细介绍和研究，正是基于这个原因，本文详细介绍了事件条件独立性的概念，通过实例讨论了事件独立性和条件独立性的关系，指出随机事件独立性和条件独立性是互不蕴含的关系，最后给出了两个新的条件独立性判定定理。